Condición (C). El cierre de cualquier subconjunto no vacío S de H en el que f está acotado pero en el que $\|\nabla f\|$ no está acotado lejos de cero, contiene un punto crítico de f. Cómo ver el significado de " $\|\nabla f\|$ no está acotado lejos de cero"?
Respuesta
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Zimmy-DUB-Zongy-Zong-DUBBY
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La condición obliga a que las cosas que parecen puntos críticos, sean puntos críticos. Mediante diversas técnicas, por ejemplo, métodos minimax, métodos de enlace, teoría de Morse, se obtienen secuencias que parecen converger a puntos críticos. Es decir, secuencias $x_i$ que satisfagan $||\nabla f(x_i)||\rightarrow 0$ . y $||f(x_i)||$ está limitada. Llamémoslas secuencias de Palais-Smale. Si una función/funcional $f$ satisface: todas las secuencias Palais-Smale para $f$ tienen subsecuencias convergentes, decimos $f$ cumple la condición de Palais-Smale.
En general, las sucesiones de Palais-Smale no necesitan tener una subsecuencia que converja a un límite. Un ejemplo muy elemental y estándar sobre $\mathbb{R}$ es la siguiente. Sea $f(x)=\arctan(x)$ y la secuencia $x_i=i$ . Es fácil comprobar que la secuencia es Palais-Smale, pero no tiene una subsecuencia convergente.
En este ejemplo podríamos prescindir de otra propiedad: la propiedad (la preimagen de todo compacto es compacta). Sin embargo, si $f:M\rightarrow\mathbb{R}$ se define en un espacio no localmente compacto (por ejemplo, espacios/manifolds de Banach/Hilbert), nunca puede ser un mapa propio. La condición de Palais-Smale es una condición que satisfacen muchas funciones interesantes y garantiza los problemas de convergencia que uno desearía.
