Explicación de la prueba: producto tensorial de operadores

Question

Sea $E$ sea un espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita, $E\otimes E$ sea el producto tensorial del espacio de Hilbert y

Recordemos el siguiente teorema:

Teorema de Stochel: Sea $A_1, A_2,B_1, B_2\in \mathcal{L}(E)$ sean operadores distintos de cero. Las siguientes condiciones son equivalentes:

• $A_1\otimes B_1=A_2\otimes B_2$ .

• Existe $z\in \mathbb{C}^*$ tal que $A_1 =zA_2$ y $B_1= z^{-1}B_2$ .

Esta es la prueba del documento

No entiendo por qué los operadores $A_1, A_2,B_1, B_2$ debe ser distinto de cero? Creo que basta con suponer que $A_1$ y $B_1$ son distintos de cero.

Answer 1

Si $A_1$ y $B_1$ son distintos de cero, entonces necesariamente $A_2$ y $B_2$ son distintos de cero, así que es lo mismo. Muchos autores no buscan optimizar las hipótesis de los teoremas hasta el mínimo lógico que los haga funcionar. En este caso, no es posible tener $A_1,B_1$ distinto de cero y $A_2=0$ o $B_2=0$ .