Demostrar la desigualdad $|tx+sy|^p\le t|x|^p+(1-t)|y|^p$

Question

Demostrar desigualdad: para cualquier $x,y,p,s\in\mathbb{R}$ con $p\ge 1$ , $t \in [0,1]$ , $s+t=1$ :

$$|tx+sy|^p\le t|x|^p+(1-t)|y|^p$$

Intentos: Intenté definir una función $f=|x|^p$ e intentó demostrar que es una función convexa para $x>0$ pero parecen no funcionar con $x\le 0$

Answer 1

El truco consiste en demostrar que $x^p$ es convexa para $x\geq0$ . Entonces, cuando reemplace $x$ con $|x|$ Utiliza el hecho de que la composición de dos funciones convexas (digamos f,g) con f no decreciente es convexa ( $x^p$ es no decreciente para los reales positivos) . No hay que preocuparse por $x<0$ como el rango de $|x|$ son los reales no negativos.

Para demostrar $x^p$ es convexo, para $p\geq2$ se puede utilizar la prueba de la segunda derivada. Para p=1, es lineal. Para $p \in (1,2)$ la primera derivada es $px^{p-1}$ que es monotónicamente creciente y, por tanto, convexo.