Prueba $T(W)\subset W$ sólo si $T^*(W^\perp)\subset W^\perp$

Question

Sea $T:V\rightarrow W$ con $V$ un espacio vectorial de dimensión finita y $W\subset V$ . Prueba $T(W)\subset W$ sólo si $T^*(W^\perp)\subset W^\perp$

Mi trabajo:

$\leftarrow$ Sea $f\in T^*(W^\perp)$ entonces $T^*(f)\in W^\perp$ esto implica $\{T^*(f)=0 \forall f\in W^*\}$ entonces $f\in W^*$

En consecuencia, $T^*(W^\perp)\subset W^\perp$

$\rightarrow$ Sea $w\in T(W)$ entonces $T(w)\in W$

Estoy atascado aquí, ¿alguien puede ayudarme?

Answer 1

Si $T(W)\subseteq W$ se deduce que $T^*(W^\bot)\subseteq W^\bot$ como $<T^*(v),w> = <v,T(w)>=0$ para todos $w\in W, v\in W^\bot$ desde $T(w)\in W$ .

A la inversa, supongamos que $T^*(W^\bot)\subseteq W^\bot$ . Hay que demostrar que $T(W)\subseteq W$ . Desde $W = (W^\bot)^\bot$ basta con demostrar que para todo $w\in W$ sostiene que $<T(w),v>=0\quad \forall v\in W^\bot$ . Pero $<T(w),v>=<w, T^*(v)>$ que es cero ya que $T^*(v)\in W^\bot$ y $w\in W$ .

Answer 2

Para $w\in W^{\perp}$ y $v\in W$ entonces $Tv\in W$ y, por tanto $\left<T^{\ast}w,v\right>=\left<w,Tv\right>=0$ .