Convergencia de momentos

Question

Supongamos que $\left(X_{n},n\in \mathbb {N}\right)$ es una secuencia de variables aleatorias que toman valores en $[0,1]$ . Supongamos que para cada $k\in \mathbb {N}$ , $$ \lim_{n\to \infty}\mathbb {E}\left(X^{k}_{n}\right)=\int x^{k}\, d\mu, $$ para alguna medida de probabilidad $\mu$ . Entonces demuestre que $(X_{n})$ converge a $\mu$ débilmente. Creo que esto debería ser sencillo por el siguiente teorema: donde $\Rightarrow$ significa convergencia débil o convergencia en la distribución. Me pregunto qué pasa si en vez de eso tengo lo siguiente: $$ \lim_{n\to \infty}\mathbb {E}\left(X^{k}_{n}\right)=\frac {a}{k+a}, $$ para algunos $a>0$ y cada $k\in \mathbb {N}$ .

Answer 1

Sea $\mu$ sea la medida cuya densidad viene dada por $ax^{a-1}\mathbf{1}_{[0,1]}(x)$ . Entonces $\int x^kd\mu=a/(a+k)$ para cada $k\in\mathbb N$ . Por lo tanto, $(X_n)$ converge en distribución a $X_\infty$ teniendo $ax^{a-1}\mathbf{1}_{[0,1]}(x)$ como densidad.