Ayuda para probar una propiedad de campo

Question

Necesito demostrar esta parte de un teorema: dado un campo $K$ tal que $|K| = p^n$ un subcampo $H \subset K$ et $\xi$ un elemento primitivo de $K$ necesito decir que $H(\xi) \subseteq K$ .

Por supuesto $K$ contiene todos los polinomios en $H[ \xi ]$ .

$\xi$ es una raíz del polinomio $x^{|K| - 1} - 1 \in H[x]$ Así que $\xi$ es una raíz de un factor mónico de $x^{|K| - 1} - 1 \in H[x]$ irreducible en $H[x]$ .

Ahora, creo que debo requerir también que este factor mónico tenga grado $n$ . ¿Es correcto? Si es así, ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

Aquí tenemos $H(\xi)=K$ .

Sea $F=\mathbb{F}_p$ sea el campo primo común de ambos $H$ y $K$ . $K$ es una extensión finita de $F$ por lo que todos sus elementos, $\xi$ en particular, son algebraicas sobre $F$ . Por lo tanto $H(\xi)=H[\xi]$ .

Porque $\xi$ es un elemento primitivo de $K$ tenemos $K=F(\xi)=F[\xi]$ . Por lo tanto, tenemos las siguientes inclusiones $$ K=F[\xi]\subseteq H[\xi]\subseteq K[\xi]=K. $$ De esta cadena de inclusiones podemos inferir la igualdad reclamada.