¿Existe una diferencia significativa entre la composición sesgada y la no sesgada?

Question

En la teoría de las categorías superiores, existen nociones de definiciones sesgadas y no sesgadas de la composición de $n$ -(o, como caso especial, productos tensoriales de objetos). En el marco del sesgo, definimos lo que significa tener un $2$ -composición doble de $n$ -morfismos, así como el $0$ -composición doble (es decir, la identidad $n$ -), y luego añadimos algún tipo de asociatividad coherente que relacione las distintas formas de componer $k$ $n$ -morfismos para todos $k$ . En el marco insesgado, definimos, para todo $k$ La noción de $k$ -composición de morfismos, y luego dar isomorfismos compatibles entre a $k$ -y las distintas composiciones de pliegues más pequeños.

Las definiciones tradicionales de las matemáticas se inclinan fuertemente hacia el marco tendencioso. Tal vez el ejemplo más sencillo sea un grupo (o monoide), que suele definirse con una operación binaria ( $2$ -) y la identidad ( $0$ -producto doble), con la condición de que $(xy)z = x(yz)$ . Por supuesto, esta definición es más fácil de redactar que una imparcial. En el mundo imparcial, definiríamos que un grupo tiene un $k$ -producto doble para todos $k$ y luego decir que para cualquier $k_1, k_2, \ldots, k_r \in \mathbb{N}$ tal que $\sum_{i = 1}^r k_i = k$ y cualquier $x_{11}, \ldots, x_{1k_1}, x_{21}, \ldots, x_{2k_2}, \ldots, x_{r1}, \ldots, x_{rk_r}$ El $k$ -producto doble de la $x_{ij}$ es igual al $r$ -producto doble de la $k_i$ -productos de la $x_{ij}$ . Sin embargo, la relativa simplicidad de las definiciones sesgadas parece desvanecerse a medida que se asciende en el $n$ -de la escalera categórica, ya que se requieren axiomas de coherencia cada vez más complicados para las nociones totalmente débiles de composición de $n$ -morfismos.

Parece que, en muchos casos, una definición no sesgada resulta más natural. Por ejemplo, al definir productos tensoriales de módulos, utilizamos una propiedad universal, y esta definición de propiedad universal funciona igual de bien para cualquier número de módulos que para dos. Además, la propiedad universal proporciona inmediatamente los mapas pertinentes del $k$ -a compuestos de productos tensoriales más pequeños, mientras que no estoy seguro de que haya una forma directa y obvia de dar un isomorfismo $(X \otimes Y) \otimes Z \to X \otimes (Y \otimes Z)$ sin utilizar elementos o al menos pasar implícitamente por el triple producto tensorial.

Ross Street, en su revisar de Leinster Operadas superiores, categorías superiores (que es una buena referencia para las definiciones de parcialidad y no parcialidad), parece implicar que la diferencia entre las nociones de parcialidad y no parcialidad es más técnica que fundacional. ¿Es este el caso, o algunos conceptos de producto tensorial o morfismo son realmente más adecuados para una interpretación sesgada o no sesgada? Parece, por ejemplo, que la teoría de las álgebras de Lie de los grupos de Lie está más bien plantada en una definición sesgada de grupo, ya que se relaciona con el fracaso de $2$ -Perfiles para desplazarse. ¿Existe una formulación de las álgebras de Lie que sea insesgada? ¿Las definiciones sesgadas o no sesgadas se prestan mejor a la categorización?

EDIT: Probablemente debería aclarar lo que quiero decir con "técnico" frente a "fundacional". Imagino que cualquier artilugio sesgado debería ser equivalente a uno no sesgado y viceversa, así que no estoy previendo la creación de nuevos tipos de objetos adoptando un punto de vista no sesgado. Más bien, me pregunto si el punto de vista imparcial puede proporcionar conocimientos fundamentales que el punto de vista sesgado no puede (o viceversa).

Un ejemplo de tal reformulación fundacional sería el uso del functor de puntos en la geometría algebraica. Que se puedan ver los esquemas en términos de sus funtores de puntos es una trivialidad, pero este cambio de marco de referencia es algo más que una conveniencia técnica; de hecho, nos aporta mucho. Por ejemplo, nos lleva a la teoría de las pilas algebraicas. Podría haber sido posible desarrollar pilas algebraicas en ausencia del functor de puntos, pero imagino que habría llevado mucho más tiempo y sería menos elegante y más inaccesible.

Así que mi pregunta general es si ver la composición de una manera u otra puede ser algo más que una conveniencia técnica.

Answer 1

Como probablemente sepas, estoy definitivamente de acuerdo en que la diferencia es más técnica que fundacional. Dicho esto, los aspectos técnicos pueden ser formidables. Hay un obstáculo inicial que hay que superar al empezar con las cosas imparciales, en el sentido de que hay que tener infinitas operaciones y axiomas, pero una vez superado eso, estoy de acuerdo en que las operaciones y los axiomas suelen ser mucho más naturales y las pruebas se producen con mucha más facilidad.

Mi ejemplo favorito es que, aunque es cierto que las categorías monoidales sesgadas y no sesgadas son equivalentes, ¡la prueba de ello requiere esencialmente toda la fuerza del teorema de coherencia de Mac Lane! El teorema de la coherencia para imparcialidad Las categorías monoidales pueden demostrarse a través de tonterías abstractas de 2 categorías sobre las 2 mónadas; básicamente toda la dificultad viene de insistir en una definición sesgada. También creo que las definiciones no sesgadas suelen conducir a categorizaciones más naturales. Por ejemplo, la noción no sesgada de Leinster de "operada globular contráctil" encaja muy bien en un lenguaje de sistemas de factorización débil, mientras que no estoy seguro de que ocurra lo mismo con la versión sesgada original de Batanin.

Ciertamente, existe una definición imparcial del álgebra de Lie, ya que las álgebras de Lie son las álgebras de una operada. Si esa definición imparcial admite una presentación agradable en términos de operaciones n-arias, no lo sé.

Answer 2

Ciertamente, las definiciones imparciales son la norma en la teoría moderna de la homotopía. Supongo que un ejemplo de definición sesgada es la definición (¿original?) de Stasheff de un $A_\infty$ el monoide del teórico de la homotopía. (Para simplificar, ignoraré las cuestiones relacionadas con la unidad.) Informalmente, consiste en un espacio $X$ , una multiplicación $\mu : X \times X \to X$ , una homotopía $\alpha$ entre los mapas $\mu(\mu(x,y),z)$ y $\mu(x,\mu(y,z))$ de $X \times X \times X$ a $X$ , un "pentagonador" $\pi$ que extiende un mapa $S^1 \times X^4 \to X$ construido a partir de $\mu$ y $\alpha$ a $D^2 \times X^4$ y así sucesivamente. Esta parece ser la generalización adecuada de su definición sesgada de monoides a la situación en la que necesitamos infinitas homotopías de coherencia superior. Más precisamente, un $A_\infty$ El espacio según esta definición consiste en un espacio $X$ junto con los mapas $\mu_n : A_n \times X^n \to X$ , donde $A_n$ es el $n$ El asociaedro es un poliedro convexo en $\mathbb{R}^{n-2}$ -y en el límite de $A_n$ , $\mu_n$ debe ser igual a una determinada expresión construida a partir del $\mu_k$ para $k$ más pequeño que $n$ . Por lo tanto, podemos pensar en ella como una nula homotopía de un mapa prescrito $\partial A_n \times X^n \to X$ .

Esta definición es bastante complicada desde el punto de vista combinatorio, ya que depende de los poliedros $A_n$ . Peter May se dio cuenta de que ciertas características del $A_n$ podría abstraerse en la noción de un (no simétrico) operad . No quiero definir exactamente lo que es una operada, sino simplemente observar el cambio de perspectiva: en lugar de pensar en $A_n$ como un espacio que codifica una homotopía nula de un mapa definido en su frontera, pensamos en los puntos de $A_n$ como la descripción de varios $n$ -multiplicacion de los arias en $X$ a través del mapa $\mu_n : A_n \to \mathrm{Map}(X^n, X)$ . La contractibilidad de $A_n$ garantiza que hay esencialmente una sola manera de multiplicar $n$ -tuplas. Vemos, pues, que la misma definición puede ser considerada como sesgada o no sesgada. Sin embargo, en el mundo de las operadas, somos libres de considerar álgebras sobre cualquier operada cuyo $n$ El espacio se puede contraer para todos los $n$ y cualquier espacio de este tipo es un $A_\infty$ de álgebra. Esta definición ya no tiene la complejidad combinatoria de los associaedros, aunque las operadas requieren cierta maquinaria. Yo la llamaría una definición no sesgada. Desde este punto de vista, la definición sesgada consiste en dar un cierto tipo de presentación homotópica de la operada terminal, que es algo útil, ¡pero bastante innecesario desde el punto de vista de dar una definición!

Dado que la teoría de la homotopía es "sólo la parte fácil de la teoría de la categoría ∞", espero que a medida que las estructuras categóricas superiores se vuelvan más comunes, veamos un fenómeno similar: las definiciones fáciles de escribir y trabajar de forma abstracta son las insesgadas, y las definiciones sesgadas son ciertas presentaciones de las nociones insesgadas, que podrían complicarse bastante a medida que aumenta el nivel categórico.