Crear un Gran Problema

Question

Me pregunto si alguno de los problemas han sido diseñados que probar una amplia gama de habilidades matemáticas. Por ejemplo, recuerdo que haciendo la integral $$\int \sqrt{\tan x}\;\mathrm{d}x$$ y está impresionado por la forma en que muchas técnicas (sustitución, trig, fracciones parciales, etc.) He tenido que utilizar para resolver con éxito.

Estoy en busca de sugerencias/contribuciones para ayudar a construir esa pregunta. Por ejemplo, un problema puede tener como respuesta $\tan x$, que luego se utiliza en la integral, y algo acerca de la respuesta a la integral podría llevar a la siguiente parte.

Los temas relevantes, que sería algo cubierto en los primeros años de una licenciatura en matemáticas.

La razón principal por la que pedimos es que quiero trabajar en el desarrollo de algunos de los más formas integradas a la práctica de las matemáticas "de manera integral" que me parece que es muy falto en el actual modelo educativo.

Answer 1

No sé este es elegible contestar o no, pero creo que merece la pena ser compartido. Esta solución que se me hizo cuando se intenta evaluar $$\int_0^{\infty}\frac{\cos2x}{x^2+4}\,dx$$ en Brilliant.org. Estos son los métodos puedo utilizar para evaluar esta integral y post de una solución.

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Método 1:

Considere la función $f(t)=e^{-a|t|}$, entonces la transformada de Fourier de $f(t)$ es dada por $$\begin{align} F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)]&=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a|t|}e^{-i\omega t}\,dt\\ &=\int_{-\infty}^{0}e^{a}e^{-i\omega t}\,dt+\int_{0}^{\infty}e^{-a}e^{-i\omega t}\,dt\\ &=\lim_{u\-\infty}\left. \frac{e^{(\omega)t}} {- i\omega} \right|_{t=u}^0-\lim_{v\to\infty}\left. \frac{e^{-(a+i\omega)t}}{a+i\omega} \right|_{0}^{t=v}\\ &=\frac{1} {- i\omega}+\frac{1}{a+i\omega}\\ &=\frac{2a}{\omega^2+a^2}. \end{align}$$ Siguiente, la inversa de la transformada de Fourier de $F(\omega)$ es $$\begin{align} f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega\\ e^{-a|t|}&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2a}{\omega^2+a^2}e^{i\omega t}\,d\omega\\ \frac{\pi e^{-a|t|}}{a}&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i\omega t}}{\omega^2+a^2}\,d\omega.\tag1 \end{align}$$ Ahora, vuelva a escribir $$\int_0^{\infty}\frac{\cos2x}{x^2+4}\,dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathbb{Re}\left(e^{2ix}\right)}{x^2+2^2}\,dx.\tag2$$ Comparando $(2)$ $(1)$ de rendimiento $t=2$ y $a=2$. Por lo tanto, $$\begin{align} \int_0^{\infty}\frac{\cos2x}{x^2+4}\,dx &=\frac{1}{2}\frac{\pi e^{-2\cdot|2|}}{2}\\ &=\frac{\pi}{4e^4}\\ \end{align}$$

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Método 2:

Tenga en cuenta que: $$\int_{y=0}^\infty e^{- x^2+4)y}\,dy=\frac{1}{x^2+4},$$ por lo tanto $$\int_{x=0}^\infty\int_{y=0}^\infty e^{- x^2+4)y}\cos2x\,dy\,dx=\int_0^{\infty}\frac{\cos2x}{x^2+4}\,dx$$ Reescribir $\cos2x=\Re\a la izquierda(e^{-2ix}\right)$, entonces $$\begin{align} \int_0^{\infty}\frac{\cos2x}{x^2+4}\,dx y=\int_{x=0}^\infty\int_{y=0}^\infty e^{- x^2+4)y}\cos2x\,dy\,dx\\ &=\int_{y=0}^\infty\int_{x=0}^\infty e^{-(yx^2+2ix+4y)}\,dx\,dy\\ &=\int_{y=0}^\infty e^{-4y} \int_{x=0}^\infty e^{-(yx^2+2ix)}\,dx\,dy. \end{align}$$ En general $$\begin{align} \int_{x=0}^\infty e^{-(ax^2+bx)}\,dx y=\int_{x=0}^\infty \exp\left (\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right)\right)\,dx\\ &=\exp\left(\frac{b^2}{4}\right)\int_{x=0}^\infty \exp\left (\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\right)\,dx\\ \end{align}$$ Vamos a $u=x+\frac{b}{2a}\;\rightarrow\;du=dx$, entonces $$\begin{align} \int_{x=0}^\infty e^{-(ax^2+bx)}\,dx y=\exp\left(\frac{b^2}{4}\right)\int_{x=0}^\infty \exp\left (\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\right)\,dx\\ &=\exp\left(\frac{b^2}{4}\right)\int_{u=0}^\infty e^{-au^2}\,du.\\ \end{align}$$ La última forma integral es la integral de Gauss que es igual a $\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$. Por lo tanto $$\int_{x=0}^\infty e^{-(ax^2+bx)}\,dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left(\frac{b^2}{4}\right).$$ Así $$\int_{x=0}^\infty e^{-(yx^2+2ix)}\,dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{y}}\exp\left(\frac{(2i)^2}{4y}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{y}}\exp\left(-\frac{1}{y}\right).$$ Siguiente $$\int_0^{\infty}\frac{\cos2x}{x^2+4}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\int_{y=0}^\infty \frac{\exp\left(-4y-\frac{1}{y}\right)}{\sqrt{y}}\,dy.$$ En general $$\begin{align} \int_{y=0}^\infty \frac{\exp\left(-ay-\frac{b}{y}\right)}{\sqrt{y}}\,dy y=2\int_{v=0}^\infty \exp\left(-av^2-\frac{b}{v^2}\right)\dv\\ Y=2\int_{v=0}^\infty \exp\left (\left(v^2+\frac{b}{av^2}\right)\right)\dv\\ Y=2\int_{v=0}^\infty \exp\left (\left(v^2-2\sqrt{\frac{b}{a}}+\frac{b}{av^2}+2\sqrt{\frac{b}{a}}\right)\right)\dv\\ Y=2\int_{v=0}^\infty \exp\left (\left(v-\frac{1}{v}\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2-2\sqrt{ab}\right)\dv\\ Y=2\exp(-2\sqrt{ab})\int_{v=0}^\infty \exp\left (\left(v-\frac{1}{v}\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\right)\dv\\ \end{align}$$ El truco para resolver la última integral es mediante el establecimiento de $$I=\int_{v=0}^\infty \exp\left (\left(v-\frac{1}{v}\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\right)\,dv.$$ Vamos $t=-\frac{1}{v}\sqrt{\frac{b}{a}}\;\rightarrow\;v=-\frac{1}{t}\sqrt{\frac{b}{a}}\;\rightarrow\;dv=\frac{1}{t^2}\sqrt{\frac{b}{a}}\,dt$, a continuación, $$I_t=\sqrt{\frac{b}{a}}\int_{t=0}^\infty \frac{\exp\left (\left(-\frac{1}{t}\sqrt{\frac{b}{a}}+t\right)^2\right)}{t^2}\,dt.$$ Vamos a $t=v\;\rightarrow\;dt=dv$, entonces $$I_t=\int_{t=0}^\infty \exp\left (\left(t-\frac{1}{t}\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\right)\,dt.$$ La adición de los dos $I_t$s rendimientos $$2I=I_t+I_t=\int_{t=0}^\infty\left(1+\frac{1}{t^2}\sqrt{\frac{b}{a}}\right)\exp\left(-a\left(t-\frac{1}{t}\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\right)\,dt.$$ Vamos $s=t-\frac{1}{t}\sqrt{\frac{b}{a}}\;\rightarrow\;ds=\left(1+\frac{1}{t^2}\sqrt{\frac{b}{a}}\right)dt$ y $0<t<\infty$ es la que corresponde a $-\infty<s<\infty$, entonces $$I=\frac{1}{2}\int_{s=-\infty}^\infty e^{-como^2}\,ds=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}.$$ Así $$\begin{align} \int_{y=0}^\infty \frac{\exp\left(-ay-\frac{b}{y}\right)}{\sqrt{y}}\,dy y=2\exp(-2\sqrt{ab})\int_{v=0}^\infty \exp\left (\left(v-\frac{1}{v}\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\right)\dv\\ &=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-2\sqrt{ab}}\\ \end{align}$$ y $$\begin{align} \int_0^{\infty}\frac{\cos2x}{x^2+4}\,dx&=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\int_{y=0}^\infty \frac{\exp\left(-4y-\frac{1}{y}\right)}{\sqrt{y}}\,dy\\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\sqrt{\frac{\pi}{4}}e^{-2\sqrt{4\cdot1}}\\ &=\frac{\pi}{4e^4}. \end{align}$$ Me tomó horas para hacer una solución utilizando el método 2 porque casi nadie en ese sitio sabe transformada de Fourier (es comprensible, ya que la mayoría de los usuario no son sólo los estudiantes de la escuela, por lo que ellos no saben nada acerca de este método) así que he hecho una solución mediante métodos estándar. Otros métodos para resolver es el uso integral de contorno o residual teorema, pero no estoy familiarizado con esos métodos.

Answer 2

En términos de una integral pregunta, traté de subir con una integral doble para mis alumnos, que pondrían a prueba muchos de los primeros años de la integral de las técnicas. Esto requiere tanto de la integración por partes y múltiples subsitutions, así como una comprensión de la integral doble regiones. Aquí es -

Boceto de la región por debajo de y=\sqrt{\sin x}$y por encima de los$\displaystyle y=\frac{2x}{\pi}$en el primer cuadrante. Encuentre y marque el menor punto de intersección,$a$, y la parte superior del punto de intersección,$b$. El volumen bajo la superficie de$f(x,y) = y$en la región se está dada por$$V=\int\límites^b_a \! \int\limits_{ 2x/\pi}^{\sqrt{\sin x}} y \ \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x,$$donde$a$y$b$ son los puntos de intersección de las curvas. Evaluar esta integral doble. Compruebe el resultado cambiando el orden de integración. Mostrar todo el trabajo.

Answer 3

Una cosa es cuando la respuesta a la primera de las piezas se lleva en las siguientes partes como usted dijo, y yo no tengo la experiencia de que, en particular.

Una cosa diferente es un ejercicio como la integral en tu ejemplo, donde varias las técnicas que se deben aplicar en sucesión con el fin de resolver. El pensamiento de este segundo modelo, viene a mi mente la ecuación diferencial $$y"+3y'=t+2e^{-3t}$$ a partir de una asignación de vuelta de mi yr1 en BEng curso de grado.

Aquí el estudiante debe en la sucesión:

1. resolver la ecuación homogénea;
2. resolver $y"+3y'=t$ (con un polinomio en la mente);
3. resolver $y"+3y'=2e^{-3t}$, saber cómo enfrentar el hecho de que $-3$, en el exponente, es también una raíz de la ecuación característica;
4. aplicar superposición para expresar la solución completa.

No es trivial: si tenía que resolver su integral y mi ODA en una prueba o examen, probablemente me fallan el año en la Uni. Chistes (?) a un lado se pueden encontrar otros ejemplos, más interesante que este, en derivados, integrales y ecuaciones, donde 3-4 diferentes conceptos y nociones que deben ser aplicados a la realidad de completar la tarea.

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Las integrales

en las páginas 5, 6 y 10 de este ejercicio papel necesita 2-3 nociones (en lugar de una sola) a ser aplicado para resolver, aunque yo diría que no son enormes problemas.