No entendía por qué este $\alpha$ es un número entero. Sé que $(x+y\sqrt D)(x-y\sqrt D)=4z^n$ pero no sé qué hacer con esta información.
Nota: No sé si es relevante pero $K$ es un campo numérico cuadrático.
Respuesta
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Cuando dicen $\alpha$ es un número entero sobre $K$ , no significan que sea un elemento de $\Bbb Z$ . Quieren decir que está en el anillo de enteros de $K$ . Declaraciones equivalentes: $\alpha$ es integral sobre $\Bbb Z \to K$ ; $\alpha$ es un número entero algebraico.
La definición de "número entero algebraico" se parece bastante a la definición de número algebraico. Un elemento $\alpha$ de alguna extensión es algebraica si es la raíz de algún polinomio en $\Bbb Q[X]$ . Es un entero algebraico si podemos elegir este polinomio para que esté en $\Bbb Z[X]$ y monic. (Siempre podemos hacer cada una de estas condiciones, lo difícil es hacerlas verdaderas al mismo tiempo).
En este caso, $K = \Bbb Q (\sqrt D)$ et $p(X) = X^2 - xX + \frac{x^2 - y^2 D}{4}$ .
