¿Cómo se escribe que existe un elemento único en una colección?

Question

Estoy un poco oxidado con las notaciones matemáticas y me gustaría escribir eso:

Existe un único elemento $z$ tal que $z$ pertenece a la colección de valores devueltos por $f(x,y)$

Honestamente, no sólo estoy oxidado, sino que también ignoro las matemáticas, excepto las funciones básicas y las operaciones matriciales básicas.

Estoy en el contexto de la programación informática y quiero escribir una especificación, y por curiosidad (y diversión) me preguntaba cómo se escribiría de una forma más científica.

Yo iría con algo como:

$\exists z\in S$ tal que...

Y entonces estoy perdido con la forma de especificar que $S$ es el resultado de $f(x,y)$ .

Algunos usos de $P(z)$ ¿Quizás?

También $S$ significa "conjunto", ¿verdad? Así que no funciona porque $z$ puede estar presente varias veces, pero IDK si hay un símbolo para tal "colección".

He buscado en Google pero es un poco difícil encontrar las palabras clave adecuadas para buscar algo así.

Gracias, señor.

EDITAR :

Sabía que cometería un error al publicar esto... Me he equivocado al nombrar $x$ , $x$ lo que lleva a la confusión de que se trata del mismo $x$ que se encuentra en $f(x,y)$ cuando en realidad no lo es.

Así que le he cambiado el nombre $z$ Lo siento.

EDITAR 2 :

Hay múltiples soluciones que se han proporcionado en las respuestas y por esto estoy agradecido, pero no puedo identificar si uno coincide con lo que quiero.

Y también hay muchas preguntas que creo que se deben a que no he dado suficientes detalles o no me he expresado correctamente, y ahora me doy cuenta de que me he equivocado por el camino, así que intentaré añadir más detalles y quizá ayude a que las respuestas converjan.

Tengo una función, digamos $f$ que dados dos argumentos, digamos $x\in X$ y $y\in Y$ devolverá una colección de valores, por ejemplo $S$ cuyos valores se toman de $Z$ .

Y quiero $S$ para contener sólo $z$ (posiblemente varias veces).

Dado $S1$ y $S2$ los resultados respectivos de $f(x1,y1)$ y $f(x2,y2)$ no puede haber un $z$ que estarían presentes en ambos $S1$ y $S2$ .

Que conste en acta, $y1$ puede ser igual a $y2$ .

También $y$ depende de $x$ así que supongo que empezamos con la segunda parte de lo que dijo @celtschk en su comentario y simplificamos:

$$S = \bigg\{f(x, g(x)) : x X \bigg\} Z$$

Pero la primera parte debería ser:

" $z$ existe al menos una vez y es única en $S$ "

y no sé cómo escribirlo :)

Answer 1

$$\exists !\ x\in S \text { s.t. } \exists\ y \text { s.t. }(x,y)\in Dom(f) \land f(x,y)=x.$$

Existe un único $x\in S$ tal que existe un $y$ tal que la tupla $(x,y)$ está en el dominio de $f$ y para el que $f(x,y)=x$ .

Answer 2

Tienes que entender cuidadosamente, qué conjuntos es su función de mapeo desde y hacia.

A juzgar por su primer mensaje, yo diría que $S$ es probablemente un multiconjunto. (Es decir, un conjunto con multiplicidades para cada elemento).

Por lo tanto, la definición de su función sería así:

$f: X\times Y \to (S, m)$ donde $m: S \to N$

Entonces la restricción sobre $z$ se vería así:

$\exists! z: f(x,y) = (S, m) \land m(z)=1$

Answer 3

Parece que estás tratando de decir

$$\exists! (x, y) ~:~ f(x, y) = z$$

o menos abreviada:

$$\exists x~\exists y~ \bigg(f(x, y) = z \land \bigg(\forall x_2 ~ \forall y_2~ ~:~ f(x_2, y_2) = z \implies (x_2 = x \land y_2 = y)\bigg)\bigg)$$

Si interpreto correctamente su pregunta, está tratando de decir que $z$ existe exactamente una vez en la imagen de $f$ .

Si te sientes cómodo con la comprensión de conjuntos, también podrías escribir:

$$\left|\bigg\{ x, y ~:~ f(x,y) = z \bigg\}\right| = 1$$

Answer 4

Primero definimos la función $f$ correctamente, es decir, lo definimos dominio y codominio:

$$f:X\times Y\to D$$

Entonces sólo tenemos que escribir

$$\exists !z\in f(X,Y)\text{ such that...(whatever)}$$

donde $f(X,Y)$ es la imagen de la función. Para cualquier función, la imagen es un subconjunto del codominio, es decir

$$f(X,Y)\subseteq D$$

Es necesario completar la razón por la que se define este único $z$ si no la declaración es confusa.