Series de Taylor de polinomios.

Question

Sé que el taylor aprox. de un polinomio centrado en 0, si n es lo suficientemente grande, es sólo el polinomio en sí.

Pero ¿por qué la gente siempre dice "centrado en 0"... no obtendríamos también el polinomio si aproximáramos alrededor de cualquier otra x? ¿Por qué el 0 es tan especial?

Answer 1

Obtendremos el polinomio si tomamos la fórmula de Taylor de orden $n$ centrado alrededor de cualquier punto $a$ siempre que $n \ge \deg$ .

Ejemplo:

$$t^n = \sum_{k=0}^n \frac{n(n-1) \ldots (n-k+1) a^{n-k}}{k!} (t-a)^k$$

Answer 2

En parte se trata de cómo lo escribes, con poderes de $(x-a)$ en lugar de potencias de $x$ como se indica en los comentarios. Pero es más que eso.

Si el polinomio es de grado $n$ y se centra en otro lugar, y se obtiene una aproximación de Taylor de grado menor que $n$ no será la misma que si estuviera centrada en $0$ .

Por ejemplo, si $f(x)=x^2$ y nos centramos en $1$ entonces el grado $1$ La aproximación de Taylor es $$1+2(x-1)$$ que se amplía a $2x-1$ no es la misma que la aproximación de Taylor de grado 1 centrada en $0$ (que es el polinomio cero).