Supongamos que se tiene una integral de la forma $$ \int_{\mathbb{R}} g(x) e^{\lambda f(x;\lambda)} $$ donde $f(x;\lambda) = f_0(x) + f_1(x;\log(\lambda))/\lambda $ y $f_1$ depende lentamente de $\lambda$ en el sentido de que puede crecer como máximo polinomialmente en su argumento. ¿Es cierto que, como $\lambda\to \infty$ , $$ \int_{\mathbb{R}} g(x) e^{\lambda f(x;\lambda)}dx \sim \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda |f_0''(x_0)|}}g(x_0)e^{\lambda f_0(x_0)}, $$ donde $x_0$ es un único punto estacionario de $f_0(x)$ es decir, las asintóticas coinciden con las que sustituyen a $f(x;\lambda)$ con $f_0(x)$ ?
Respuesta
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Se puede recurrir al siguiente teorema de Olver ( Asintótica y funciones especiales capítulo 9, sección 2, teorema 2.1). Hay que desplazar el punto estacionario $x_0$ al origen, dividir la integral en $x=0$ en dos integrales separadas, y finalmente cortar las integrales en puntos finitos y demostrar (de la forma habitual) que las contribuciones de las colas son despreciables.
Teorema. Sea $k$ y $\Lambda$ sean números fijos positivos, y $$ I(\lambda ) = \int_0^k {g(x,\lambda) e^{\lambda f_0 (x) + f_1 (x,\lambda )} dx} . $$ Supongamos que
(i) $f'_0 (x)$ es continua y negativa en $(0,k]$ y como $x\to 0+$ $$ f_0 (x) = f_0(0) + F_0 x^\alpha + \mathcal{O}(x^{\alpha _1 } ),\quad f'_0 (x) = \alpha F_0x^{\alpha - 1} + \mathcal{O}(x^{\alpha _1 - 1} ), $$ donde $F_0<0$ y $\alpha _1 > \alpha > 0$ .
(ii) Para cada $\lambda \in [\Lambda,\infty)$ las funciones reales o complejas $f_1(x,\lambda)$ y $g(x,\lambda)$ son continuas en $0 < x \leq k$ . Además $$ \left| {f_1 (x,\lambda )} \right| \le F_1 x^\beta \lambda ^\varepsilon ,\quad \left| {g(x,\lambda ) - G_0 x^{\gamma - 1} } \right| \le G_1 x^{\gamma _1 - 1} \lambda ^\delta , $$ donde $F_1,\beta,\varepsilon,G_0,\gamma,G_1,\gamma_1$ y $\delta$ son independientes de $x$ y $\lambda$ y $$ \beta \geq 0,\quad \gamma>0, \quad \gamma_1>0,\quad \varepsilon <\min(1,\beta/\alpha),\quad \delta < (\gamma_1-\gamma)/\alpha. $$
Entonces $$ I(\lambda ) = \frac{{G_0 }}{\alpha }\Gamma\! \left( {\frac{\gamma }{\alpha }} \right)\frac{{e^{\lambda f_0 (0)} }}{{(|F_0| \lambda )^{\gamma /\alpha } }}\left( {1 + \mathcal{O}\!\left( {\frac{1}{{\lambda ^{\varpi /\alpha } }}} \right)} \right) $$ como $\lambda \to +\infty$ donde $$ \varpi = \min(\alpha_1-\alpha,\beta-\alpha \varepsilon,\gamma_1-\gamma-\alpha\delta).$$
