Potencial gravitatorio del cilindro

Question

Tengo una pregunta sobre el cilindro infinito. Quería calcular un potencial gravitatorio que crea, pero me he topado con algunas dificultades.

Por la Ley de Gauss sabemos, que la fuerza sobre un objeto con masa m a distancia x debido a un cilindro infinito con densidad d y radio R iguales:

$$F = \frac{2G\pi R^{2}md}{x}$$

Así que si introducimos esto en la ecuación del trabajo, obtenemos..:

$$W = \int_{R}^{\infty} F(x)\cdot \text dx= -2G\pi R^{2}md\int_{R}^{\infty}\frac{1}{x}\,\text dx= -2G\pi R^{2}md \Big(\ln(\infty) - \ln(R)\Big) $$

Sin embargo, $ln(\infty)=\infty$ y eso me deja un poco confundido. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Para un potencial, puede elegir un punto de referencia arbitrario $\vec r_0$ $$ V(\vec r) - V(\vec r_0) = -\int_{\vec r_0}^{\vec r} \vec F(\vec r') \cdot d\vec \ell'. $$

Para una fuente de masa cilíndrica, la fuerza $1/x$ conduce a divergencias potenciales en ambos $r=0$ y $r=\infty$ . Por lo tanto, estos dos lugares no son adecuados como referencia.

Sugiero elegir la cáscara cylidircal en $r=1$ como superficie de referencia :

$$ V(r) -V(r=1) \equiv -\int_1^r F_r \, dr $$

Esto evitará tener que tratar con referencias divergentes.

\begin{align} V(r) - V(1)=& -\int_1^r \frac{2G\pi R^2md}{r'} \, dr'\\ =& -2G\pi R^2md \ln r'\Big\vert_1^r\\ =& -2G\pi R^2md \{ \ln r - \ln 1 \}\\ =& -2G\pi R^2md \ln r \end{align}

Como el potencial puede elegir arbitrariamente la posición de potencial cero, elegimos entonces $V(r=1) = 0$ . De este modo, se creará un formulario sencillo para los posibles $$ V(r) = -2G\pi R^2md \ln r. $$