¿Problema de Rouché inverso?

Question

El problema en uno de mis simulacros de examen es el siguiente: Supongamos que ambos $f$ y $g$ son enteros con una cantidad finita de ceros que se encuentran en un disco $D_r(0)$ . Los ceros se cuentan por su multiplicidad. Supongamos que la cantidad de ceros de ambas funciones es igual. Demostrar que existe una función entera $h$ que no tiene ceros tal que existe una $R > r$ para la que se cumple que $|f(z) - h(z)g(z)| < |f(z)|$ para todos $|z|=R$ .

Una subpregunta que tengo a esto es ¿por qué necesitamos la condición de que la cantidad de ceros sea igual? ¿Por qué $h$ y $R>r$ no existe si el número de ceros no es igual?

Supongo que tiene que ver con una especie de teorema inverso de Rouché, porque partimos de que el número de ceros es igual y queremos demostrar una desigualdad.

$\textbf{Rouché's Theorem:}$ Supongamos que $f$ y $g$ son holomorfas en un conjunto abierto que contiene un círculo $C$ y su interior. Si $|f(z)| > |g(z)|$ para todos $z \in C$ entonces $f$ y $f+g$ tienen la misma cantidad de ceros dentro del círculo $C$ .

¿Alguien puede dar una pista? Gracias.

Este problema es similar a Enunciado inverso al teorema de Rouché en análisis complejo.

Answer 1

Supongamos primero $f=P, g=Q$ polinomios distintos de cero del mismo grado $n \ge 0$ (por hipótesis); si $a \ne 0$ es la relación de sus coeficientes principales, $f-ag$ tiene un grado como máximo $n-1$ (que, por ejemplo, significa $f-ag=0$ si $n=0$ ), por lo que $|f-ag|<|f|$ en un círculo suficientemente grande $|z|=R$ y hemos terminado.

Pero ahora el caso general se deduce fácilmente como $f,g$ entero con un número finito de ceros, significa que $f=Pe^{f_1}, g=Qe^{g_1}$ con $P,Q$ polinomios mónicos no nulos del mismo grado y $f_1,g_1$ completo (basta con factorizar los ceros finitos de $f,g$ con los polinomios mónicos correspondientes y lo que queda son funciones enteras nunca evanescentes, por lo que son exponenciales de funciones enteras), por lo que tomando $h=e^{f_1-g_1}$ se tiene $|f-hg|=|e^{f_1}(P-Q)|<|e^{f_1}P|$ para un círculo suficientemente grande, ya que $P-Q$ tiene un grado estrictamente inferior a $P$