La gráfica de una función medible

Question

Cómo demostrar que la gráfica de la función medible de $R^d\to R$ es de medida cero?

Lo he demostrado para una función continua, pero para cualquier función medible es más sutil.

Answer 1

Aquí hay una solución más elemental (y mucho más larga) por si alguien mira y no conoce el teorema de Fubini (porque yo acabo de mirar y no lo conozco).

dejar $f : \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función medible. Entonces dejemos que $$F_n = \min(f(x), n)\chi_{[-n,n]^d}$$ sea una versión truncada horizontal y verticalmente de $f$ . Entonces tenemos $\Gamma(f) \subseteq \bigcup_n \Gamma(F_n)$ por lo que basta con demostrar que $\Gamma(F_n)$ es un conjunto nulo para todo $n$ .

Para ello, fije $N$ y la partición $[-N,N]$ en $2mN$ intervalos disjuntos $I_j^m$ de tamaño $\frac{1}{m}$ . Y que $A_j^m = F_N^{-1}(I_j^m)$ sea la preimagen de $I_j^m$ en $F_N$ que es medible porque $F_N$ es una función medible.

Entonces $$\Gamma(F_N) = \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{j=1}^{2Nm} A_j^m \times I_j^m,$$ así que $\Gamma(F_N)$ es medible y $\bigcup_{j=1}^{2Nm} A_j^m \times I_j^m$ es una secuencia decreciente en $m$ , todos los cuales tienen medida finita, por lo que por la convergencia monótona descendente de los conjuntos $$\mu(\Gamma(F_N)) = \lim_{m\rightarrow\infty} \mu(\bigcup_{j=1}^{2Nm} A_j^m \times I_j^m ) \leq \lim_{m\rightarrow\infty} \sum_1^{2Nm} \mu(A_j^m) \frac{1}{m}$$ donde la desigualdad es por subadivisión y el hecho de que $\mu(A_j^m\times I_j^m) = \mu(A_j^m)\mu(I_j^m) = \mu(A_j^m)\frac{1}{m}$ . Entonces, por construcción, el $A_j^m$ son disjuntos y todos están contenidos en $[-N,N]^d$ Así que $$ \lim_{m\rightarrow\infty} \sum_1^{2Mn} \mu(A_j^m)\frac{1}{m} \leq \lim_{m\rightarrow\infty} 2^dN^d \frac{1}{m} = 0.$$

Así, hemos demostrado que $\mu(\Gamma(F_N)) = 0$ y hemos terminado.

Answer 2

El gráfico $\Gamma$ de la función es medible . La vertical secciones $\Gamma_x=\{y:(x,y)\in \Gamma\}$ también son medibles y contienen un único punto, un conjunto de medida cero. En Teorema de Fubini para conjuntos nulos , $\Gamma$ tiene medida cero.