Problema con las tangentes

Question

Si $\tan\alpha=3$ y $\tan\beta=2$ . ( $\alpha$ y $\beta$ están en el primer cuadrante).

Demostrar que $$\frac{\pi}{24}<\alpha-\beta< \frac{\pi}{16}$$

Y entiendo que $$\tan(\alpha-\beta)=\frac{1}{7}$$ Pero no puedo continuar

Answer 1

Aquí está mi comienzo en este problema: Necesitamos respuestas exactas de los valores trigonométricos a través de fórmulas de medio ángulo. Usando algunas investigaciones antiguas sobre trigonometría, sabemos que $\sin22.5=\sqrt{\frac{1-0.5\sqrt{2}}{2}}$ y $\cos22.5=\sqrt{\frac{1+0.5\sqrt{2}}{2}}$ . Esto nos permite obtener un valor exacto para $tan11.25$ que viene (a través de ella fórmula de medio ángulo $\frac{\sin...}{1+\cos...}$ ) para ser $\frac{\sqrt{1-.5\sqrt{2}}}{\sqrt{2}+\sqrt{1+.5\sqrt{2}}}$ Este es el valor superior de la desigualdad (Es un poco más que $1/7$ ).

Del mismo modo, para el ángulo inferior dado, encuentro $\tan7.5=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4+\sqrt{6}+\sqrt{2}}$ . El problema ahora es demostrar numéricamente que la desigualdad se cumple. Todavía estoy atascado en eso, pero no hay trigonometría involucrada. Si alguien puede añadir algo a mi solución, sería estupendo. Si se cree que mi planteamiento no conduce a nada, que me lo digan, ¡lo quitaré!

Answer 2

Esto aún no es una respuesta, pero esperemos que arroje algo de luz.

Mirando los números, creo que esto tiene algo que ver con $\pi/8$ porque:

$$ \begin{align} \frac{\pi}{16} &= \frac{1}{2} \frac{\pi}{8} \\ \frac{\pi}{24} &= \frac{1}{3} \frac{\pi}{8} \end{align} $$

$\tan(\pi/8)$ se puede encontrar utilizando ecuaciones de medio ángulo: Trigonometría Ángulos--Pi/8 . Podemos hacer lo mismo para $\pi/16$ y $\pi/24$ .

Answer 3

Así lo he entendido yo. Primero tienes que encontrar los valores de alfa y beta. Usando la fórmula alfa=Arctan 3 y beta=Arctan 2 . Después de obtener los valores de los dos resta beta a alfa y obtendrás la respuesta que satisfará lo que estás probando.