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Continuidad de f(x,y)=(xy+x2+y2)sin2(x+y)x2+y2

f(x,y)=(xy+x2+y2)sin2(x+y)x2+y2 si xy0 y f(x,y)=0 si xy=0 compruebe si f(x,y) es continua en el origen.

Para que sea continua lim

utilizando la definición épsilon-delta, \begin{align}\left|\dfrac{(xy+\sqrt{x^2+y^2})\sin^2 (x+y)}{x^2+y^2}\right|&\\\leq\dfrac{xy+\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2}&\\\leq\left|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right|+\left|\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|&\\\leq\dfrac{1}{2}+\left|\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\end{align}

¿Así que no puedo poner esto en delta limita DNE? Pero si dibujo su gráfico, me parece continuo.

Por favor, ayuda.

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user142385 Puntos 26

\sin^{2}(x+y)\leq (x+y)^{2} \leq 2(x^{2}+y^{2}) . Por lo tanto |f(x,y)|\leq 2|xy|+2\sqrt {x^{2}+y^{2}} \to 0 .

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