Continuidad de $f(x,y)=\dfrac{(xy+\sqrt{x^2+y^2})\sin^2 (x+y)}{x^2+y^2}$

Question

$f(x,y)=\dfrac{(xy+\sqrt{x^2+y^2})\sin^2 (x+y)}{x^2+y^2}$ si $xy\neq0$ y $f(x,y)=0$ si $xy=0$ compruebe si $f(x,y)$ es continua en el origen.

Para que sea continua $$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y)=0$$

utilizando la definición épsilon-delta, $$\begin{align}\left|\dfrac{(xy+\sqrt{x^2+y^2})\sin^2 (x+y)}{x^2+y^2}\right|&\\\leq\dfrac{xy+\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2}&\\\leq\left|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right|+\left|\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|&\\\leq\dfrac{1}{2}+\left|\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\end{align}$$

¿Así que no puedo poner esto en delta limita DNE? Pero si dibujo su gráfico, me parece continuo.

Por favor, ayuda.

Answer 1

$\sin^{2}(x+y)\leq (x+y)^{2} \leq 2(x^{2}+y^{2})$ . Por lo tanto $|f(x,y)|\leq 2|xy|+2\sqrt {x^{2}+y^{2}} \to 0$ .