Simulación de lanzamiento de monedas frente a probabilidad de lanzamiento de monedas

Question

¿Existe una fórmula estándar para calcular el número máximo, mínimo y medio de veces que hay que lanzar una moneda al aire antes de observar una secuencia deseada?

Supongamos que tenemos una moneda que tiene un 95% de probabilidades de caer en HEAD y un 5% de probabilidades de caer en COLA. Supongamos que está interesado en conocer el número máximo, mínimo y medio de veces que necesita lanzar una moneda antes de observar HEADS, TAILS, HEADS.

Es sencillo averiguar la probabilidad de esta secuencia : P(H,T,H) = 0,95 * 0,05 * 0,95 = 0,045.

Pero por alguna razón, no creo que esto signifique que :si se considerasen 3 volteretas como una "carrera" - en 100 "carreras", de media 4,5 de estas carreras resultarían en CABEZAS, COLAS, CABEZAS

Mi pregunta: ¿Existe una fórmula exacta que pueda responder a este tipo de preguntas?

• El número máximo de "pasadas" antes de observar CABEZAS, COLAS, CABEZAS
• El número mínimo de "pasadas" antes de observar CABEZAS, COLAS, CABEZAS
• El número medio de "pasadas" antes de observar CABEZAS, COLAS, CABEZAS

¿O esta cuestión sólo puede resolverse con métodos de simulación? (por ejemplo, programar un ordenador para simular muchas "carreras" de este tipo y responder a las preguntas anteriores mediante simulación).

Gracias.

Answer 1

Tu intuición sobre el significado de las probabilidades es errónea. $P(H,T,H)=p$ significa que, considerando una secuencia de 3 tiradas, $H,T,H$ aparecerá con probabilidad $p$ .

En cuanto al número máximo de carreras antes de observar la carrera deseada: no existe tal número. En cualquier número finito de ejecuciones, habrá una probabilidad positiva de que no observes la ejecución deseada. El mínimo es simplemente 1: puede que la observes la primera vez.

Para calcular el número medio de ejecuciones antes de observar $H,T,H$ podemos tratar cada ejecución como un ensayo Bernoulli o un lanzamiento de moneda por sí mismo. Observamos $H,T,H$ con probabilidad $p$ y fallan con probabilidad $1-p$ . A continuación, el número de ejecuciones se describe mediante Distribución geométrica . El número medio de ejecuciones es entonces su media: $1/p$ .

Answer 2

Cuestión 1: No hay ninguna, ya que la determinación del número máximo de tiradas (sea M ese número) para obtener ypur evento es equivalente a asegurar que el evento $E=\{HTH\}$ se producirá con probabilidad uno antes de M lo que no es cierto.

Pregunta 2: No es difícil darse cuenta de que el número mínimo para conseguir evento $E$ es 3, para que se produzca ese suceso se necesitan al menos tres tiradas.

Pregunta 3: Sí lo hay, si se define $X$ como el juicio en el que se produce $E$ por primera vez, entonces $X$ es una variable aleatoria geométrica con parámetro $p= P(E)=0.045$ por lo que el número medio de vueltas antes de observar $E$ son los valores esperados de $X$ que es $E[X]= 1/p \approx 22.2$ .

Answer 3

"¿O sólo puede resolverse una cuestión así utilizando métodos de simulación? (por ejemplo, programar un ordenador para simular muchas de esas "carreras" y responder a las preguntas anteriores mediante simulación)" - Sí, sin duda - esto es lo que es la probabilidad experimental, y como su número de simulaciones $\to \infty$ llegarás a tus probabilidades teóricas... que siendo...

Ya has encontrado que la probabilidad específica de la permutación {H, T, H} $= 0.045$ con Pr(H) $= 0.95$ y Pr(T) $= 0.05$ .

Esto significa que cada carrera a ocurrir, hay un $0.045$ probabilidad de que se produzca esta permutación exacta, ya que sus ejecuciones son independientes entre sí.

"fórmula exacta" - no sólo una fórmula, hay toda una distribución dispuesta para ayudarte, La Distribución Binomial.

Vamos a considerar, por un segundo, su carrera como un todo, en lugar de sus partes (flips). Así, una tirada suya tiene $0.045$ probabilidad de que ocurra. Dado que éste es el suceso que desea, ésta será su probabilidad de éxito (Pr(S) $= 0.045$ ). Esto también significa que su probabilidad de no conseguir algún éxito o fracaso, Pr(F) $= 0.955$ .

La distribución binomial consta de tres variables, $n$ tu número de pruebas, $p$ su probabilidad de éxito (de la que acabamos de hablar), y $X$ número de éxitos de tus pruebas que quieres conseguir.

En su caso $n = 100$ , $p = 0.045$ , $X = 3$ (digamos que queremos tener exactamente $3$ de que se produzca su permutación {H, T, H} en 100 ensayos). Entonces,

$Pr(X = 3) = {n\choose{x}}(p)^x(1-p)^{n - x} = {100\choose{3}}(0.045)^3(0.955)^{100 - 3}$

Esto funciona para cualquier éxito hasta, $n$ (ya que no se pueden tener más aciertos que el número de pruebas posibles).

1. "El número máximo de "carreras" antes de observar CABEZAS, CABEZAS, CABEZAS".

No creo que haya un máximo real posible (no hay límite para $n$ ). Podría ser $\infty$ . Sin embargo, su segunda pregunta es más factible...

2. "El número mínimo de "carreras" antes de observar CABEZAS, CABEZAS, CABEZAS".

Si desea un mínimo absoluto, entonces su $1$ correr, pero sus probabilidades probablemente no sean tan altas.

3. "El número medio de "carreras" antes de observar CABEZAS, COLAS, CABEZAS"

Si conoces la distribución binomial, entonces podría ser simplemente $np$ , $100 * 0.045 = 4.5$ .

Obviamente, no es el caso. Queremos el número esperado de ensayos para al menos un $X = 1$ que se produzca. También queremos alcanzar una probabilidad máxima posible de $X = 1$ el $n$ ensayos (de ahí la media). Esto significa que tenemos que ajustar el número de ensayos, $n$ tal que $X = 1$ alcanza una probabilidad máxima posible.

$Pr(X_n = 1) = {n\choose{1}}(0.045)^1(0.955)^{n - 1}$ es máxima. Que sea igual a $f(n)$ . Podemos encontrar el máximo resolviendo $\frac{d(f(n))}{dn} = 0$ para $n$ que dan, $n = 21.7184$ . Sin embargo, dado que $n \in \mathbb{N}$ , $n = 22$ . Esto significa hacer $22$ carreras le permitirá alcanzar un máximo de posibilidades de al menos $1$ {H, T, H} ocurriendo. Esa es tu "media".