El espacio de Tsirelson (1974) es un buen ejemplo de la teoría de los espacios de Banach. Su espacio es la terminación de un $c_{00}$ (todas las secuencias escalares finitamente soportadas) bajo una norma definida inductivamente. La norma base es la supranorma $\|\cdot \|_0$ .
Para $n \in \mathbb{N}$ la norma $\|x\|_{n+1}$ se define por
$ \|x\|_{n+1}= \sup\{\frac{1}{2} \sum^k_i \|E_ix\|_{n} \} $
donde el supremum se toma sobre todos los conjuntos $(E_i)_{i=1}^k$ donde $E_i$ es un intervalo finito en $\mathbb{N}$ , $\max E_i < \min E_{i+1}$ y $k \leq E_1$ (aquí $Ex$ denota la restricción de $x$ a las coordenadas de $E$ ). La norma de Tsirelson es $\|x\|_T = \sup_n \|x\|_n$ y satisface la siguiente ecuación implícita
$ \|x\|_T= \max ( \|x\|_0 , \sup \frac{1}{2} \sum^k_i \|E_ix\|_T ).$
El espacio $T$ no contiene una copia de ningún $\ell_p$ o $c_0$ . Esto resolvió un importante problema abierto en su momento (debo señalar que Tsirelson definió en realidad el dual de $T$ que también tiene la propiedad).
El método inductivo que ideó para producir este espacio condujo finalmente a la solución de numerosos problemas de la teoría de los espacios de Banach (demasiados para mencionarlos). Además, la "necesidad" de la construcción inductiva de producir espacios que no contengan ningún $\ell_p$ de $c_0$ es un problema que ha sido considerado por Gowers como un proyecto de polímata (desgraciadamente no se ha avanzado mucho en este sentido): http://gowers.wordpress.com/2009/02/17/must-an-explicitly-defined-banach-space-contain-c_0-or-ell_p/
Visite el sitio web de Boris Tsirelson para más información sobre su espacio: http://www.math.tau.ac.il/~tsirel/Investigación/myspace/main.html
