Elección continua de vectores y valores propios

Question

Sea $H=L^2(X)$ para algún espacio compacto $X$ . Denotamos por $U(H)$ el espacio de operadores unitarios sobre $H$ con la topología inducida por la norma del operador.

Dado un mapa continuo $t\mapsto S_t$ de $[0,1]$ a $U(H)$ . ¿Existen mapas continuos (o al menos de Borel) $t\mapsto \lambda_t$ y $t\mapsto f_t$ el primero con valores en $S^1$ y el segundo con valores en $H\backslash\{0\}$ tal que $S_t f_t =\lambda_t f_t$ ?

Answer 1

Un operador unitario no necesita tener ningún vector propio. Por ejemplo $X=S^1$ con su medida habitual, y que $S\in U(H)$ se define por $S(f)(z)=zf(z)$ (así, $S$ es el operador de multiplicación de la función de inclusión $S^1\to \mathbb{C}$ ). Entonces, si $f\in H$ es tal que $S(f)=\lambda f$ para algún escalar $f$ Esto significa $zf(z)=\lambda f(z)$ casi en todas partes. Pero esto implica $f(z)=0$ en casi todas partes (ya que si $f(z)\neq 0$ y $zf(z)=\lambda f(z)$ sólo podemos tener $z=\lambda$ ), por lo que $f=0$ en $H$ .

Por lo tanto, si $S_t$ es este $S$ para todos $t$ y, a continuación, el $f_t$ y $\lambda_t$ no existen.