Encontrar una serie de cosenos para representar la función valor absoluto

Question

Pregunta: Demuestra la siguiente identidad:

$|x|=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2n-1)x}{(2n-1)^2}$ . Nuestro tema actual es el análisis de Fourier, pero estoy realmente perdido aquí. Traté de calcular la serie de Fourier, pero parecía extremadamente diferente de la identidad deseada.

Answer 1

Se puede evaluar utilizando coeficientes complejos de Fourier $c_k$ . Usted consigue: $\frac{1}{2\pi}$ ( $\int_{0}^{-\pi}xe^{-ikx}dx$ + $\int_{0}^{\pi}xe^{-ikx}dx$ ) que resulta tras la integración por partes en $\frac{1}{\pi k^2}((-1)^k-1)=c_k$ Ahora, utilizamos $a_k=c_k+c_{-k}$ y $b_k=i(c_k-c_{-k})$ que es $0$ .

$a_k$ se convierte en $\frac{-4}{\pi k^2}$ donde k es impar, es decir $k=2n-1$ y $a_0$ tras la evaluación, se convierte en $\pi$

Así que ahora, usted tiene : $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}a_kcos(kx), k=(2n-1)$$ Así que después de introducir todos los valores, obtenemos $$f(x)=|x|=\frac{\pi}{2}+\frac{-4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} cos((2n-1)x)$$

Espero que le sirva de ayuda.

Answer 2

Debe ser $$ |x|=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2n-1)x}{(2n-1)^2}. $$ Desde $|x|$ es par, no hay términos sinusoidales y el coeficiente de $\cos(n\,x)$ es $$ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi|x|\cos(n\,x)\,dx=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\cos(n\,x)\,dx,\quad n\ge0. $$ Esta integral se calcula fácilmente mediante integración por partes.