Para dos cartografías inyectivas $f$ y $g$ ¿cuál es la correcta?

Question

Sea $X$ y $Y$ sean dos conjuntos no vacíos y

$f: X \to Y$ Y $g: Y \to X$ sean dos mapeos . SI ambos $f$ y $g$ a entonces

(a) $X$ y $Y$ deben ser conjuntos infinitos

(b) $g =f^{-1}$

(c) Una de $fog: Y \to X $ y $gof: X \to Y$ es siempre biyectiva

(d) Existe un mapa biyectivo $h: X \to Y$

Desde $f$ y $g$ son inyectivas, por lo que , $\left|X\right| \le \left|Y\right|$ y

$\left|Y\right| \le \left|X\right|$ Así $\left|X\right| = \left|Y\right|$

Como f y g son inyectivas $fog, gof$ también son inyectivas $\left|X\right| = \left|Y\right|$ Por lo tanto, ambos

son biyectivas.

Por lo tanto, (c) debe ser la opción correcta.

¿Es correcta mi respuesta?

Answer 1

(a) no es correcta. Tomemos el ejemplo de los mapas biyectivos entre conjuntos finitos.

(b) no es correcta. Tome $X=Y= \mathbb N$ , $f(n)=2n$ y $g(n)=3n$ .

(c) no es correcta. Toma los ejemplos de (b) como contraejemplo.

(d) es correcta. Este es el teorema de Cantor-Bernstein .