Invariantes para el álgebra de Lie simple compleja excepcional $F_4$

Question

Esta es una versión editada de la pregunta original teniendo en cuenta los comentarios de Bruce. La formulación original era imprecisa.

Sea $\mathfrak{g}$ denotan un álgebra de Lie simple compleja de tipo $F_4$ . Su representación irreducible no trivial más pequeña es de 26 dimensiones. Llamémosla $V$ . Esta pregunta se refiere a los invariantes de $\mathfrak{g}$ en esta representación.

Es bien sabido que $\mathfrak{g}$ deja invariante una forma cuadrática $Q \in \operatorname{Sym}^2 V$ y una forma cúbica $C \in \operatorname{Sym}^3V$ en $V$ . Efectivamente, $\mathfrak{g}$ puede caracterizarse como la subálgebra de Lie de $\mathfrak{sl}(V)$ que deja invariante $Q$ y $C$ . Desde $V$ es irreducible, $Q$ es no degenerada y podemos utilizarla para identificar $V$ con $V^*$ como $\mathfrak{g}$ módulos.

Parece formar parte del folclore teórico del grupo en la literatura de Física (comenzando posiblemente con este documento ) que cualquier $\mathfrak{g}$ -en $V$ --- es decir, cualquier $\mathfrak{g}$ -elemento invariante de in $\bigoplus_{n\geq 0} V^{\otimes n}$ --- puede construirse con $Q$ (y su inversa), $C$ y un "elemento de volumen" distinto de cero $\nu \in \Lambda^{26}V$ mediante productos en el álgebra tensorial y contracciones.

Por ejemplo, podemos construir seis tensores invariantes a partir de $Q$ y $C$ en grado $4$ $$ Q_{ab}Q_{cd} \qquad Q_{ac}Q_{bd} \qquad Q_{ad}Q_{bc} \qquad C_{abe}C_{cdf} Q^{ef} \qquad C_{ace}C_{bdf} Q^{ef} \qquad C_{ade}C_{bcf} Q^{ef} $$ que satisfacen una relación lineal, ya que sólo existe un espacio de 5 dimensiones de tales tensores.

Ahora, un cálculo rápido en LiE revela que hay un $\mathfrak{g}$ -tensor invariante $\Phi \in \Lambda^9 V$

 > alt_tensor(9,[0,0,0,1],F4)|[0,0,0,0]
      1

que no puede construirse con $Q$ , $C$ y $\nu$ de la forma mencionada.

Una posible forma de entender $\Phi$ es pensar en términos de $\mathfrak{so}(9)$ subálgebra de $\mathfrak{g}$ . En $\mathfrak{so}(9)$ , $V$ se descompone como una suma directa del trivial ( $\Lambda^0$ ), vector ( $\Lambda^1$ ) y el espinor ( $\Delta$ ) irreducibles: $$ V = \Lambda^0 \oplus \Lambda^1 \oplus \Delta $$

Hay precisamente dos $\mathfrak{so}(9)$ -invariantes en $\Lambda^9 V$ uno es la forma de volumen en $\Lambda^1$ y la otra es la forma "volumen" en $\Lambda^0$ encajado con el $\mathfrak{so}(9)$ -8-forma invariante en $\Delta$ . Observe que $(\mathfrak{so}(9),\Delta)$ es la representación holonómica del plano de Cayley $F_4/\operatorname{Spin}(9)$ que es bien sabido que tiene un paralelo autodual $8$ -forma. Entonces $\Phi$ es una combinación lineal de estas dos $\mathfrak{so}(9)$ -invariantes, que aún tengo que resolver.

Preguntas

Tengo dos preguntas y, como de costumbre, agradecería mucho cualquier indicación sobre la bibliografía pertinente:

1. ¿Puede construirse todo tensor invariante a partir de $Q$ (y su inversa) $C$ , $\nu$ y $\Phi$ por productos y contracciones?

2. ¿Existe una descripción más conveniente (para los cálculos) de $\Phi$ ? En particular, me gustaría conocer la relación de la forma $\Phi \otimes \Phi = \cdots$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es más un comentario/ampliación de la pregunta original/especulación descabellada que una respuesta. Debido a mi pobre recuerdo de la lectura, hace un tiempo, Programa de Klein en Erlangen y Crítica de Franz Meyer sobre la teoría invariante clásica, Pensé que la P 1 de José era una consecuencia fácil de un teorema del siglo XIX que diría (disclaimer: lo que sigue es meta-matemática):

`Dejad $G$ sea un grupo que actúa sobre algún espacio vectorial $V$ . Sea $A$ denotan una colección de tensores en algunas potencias tensoriales de $V$ y su dual (como $Q$ y $C$ más arriba). Sea $H$ sea el subgrupo de $G$ definido como el estabilizador de $A$ . Supongamos que conocemos el primer teorema fundamental para $G$ : a saber, una descripción de invariantes de $G$ utilizando contracciones de un conjunto finito de piezas elementales. Entonces se puede obtener la FFT de $H$ simplemente uniendo las piezas de la colección $A$ .'

Supongamos, por ejemplo, que observamos un polinomio $P({\mathbf{F}})$ donde $\mathbf{F}$ es un genérico $V$ -tensor. Supongamos que $P(g{\mathbf{F}})=P(\mathbf{F})$ para todos $g$ en $H$ . Entonces el metateorema anterior es la afirmación de que existe un polinomio $\Phi(\mathbf{F},\mathbf{A})$ implicando esta vez a genérico tensor o colección de tensores $\mathbf{A}$ del mismo formato que $A$ tal que:

1) $\Phi$ es invariante por el grupo completo $G$ es decir, $\Phi(g\mathbf{F},g\mathbf{A})=\Phi(\mathbf{F},\mathbf{A})$ para todos $g$ en $G$ .

2) la especialización de $\Phi(\mathbf{F},\mathbf{A})$ a $\mathbf{A}:=A$ es el invariante original del subgrupo $P(\mathbf{F})$ .

Si esto fuera cierto, entonces la FFT para $G=GL(V)$ sería la madre de todas FFT. La declaración funciona para ir de $GL(n)$ a $SL(n)$ y tomando $A$ para ser el tensor épsilon Levi-civita. Para grupos ortogonales y simplécticos se toma para $A$ una simétrica o antisimétrica forma. Pero también funciona si $G=SL(2)$ y $A=e_1=(1, 0)^T$ para que $H$ es el grupo de matrices triangulares superiores (supongo que para $n>2$ se necesitaría $A=e_1, e_1\wedge e_2,\ldots$ ). Pensaba que el metateorema se mencionaba en la reseña de Franz Meyer, pero en realidad el único caso del que habla explícitamente es el último. El llama a eso el estudio de "peninvariantes" que es lo mismo que seminvariantes fuentes de covariantes de formas binarias etc.

He aquí una meta-meta-prueba del meta-teorema:

Sea $\Phi(\mathbf{F},\mathbf{A}):=P(g\mathbf{F})$ donde $g$ es algún elemento de $G$ tal que $\mathbf{A}=g^{-1}A$ .

Esto está bien definido ya que $g_1^{-1}A=g_2^{-1}A$ implica por definición de $H$ que $g_2 g_1^{-1}\in H$ . Por lo tanto $P(g_2\mathbf{F})=P((g_2 g_1^{-1})g_1\mathbf{F})= P(g_1\mathbf{F})$ por $H$ -invarianza de $P$ .

Se trata de un $G$ -porque por construcción, si $\mathbf{A}=g^{-1}A$ entonces $g'\mathbf{A}=(g g'^{-1})^{-1}A$ y así $\Phi(g'\mathbf{F},g'\mathbf{A})=P((gg'^{-1})g'\mathbf{F}) =P(g\mathbf{F})=\Phi(\mathbf{F},\mathbf{A})$ .

Ahora, por supuesto, hay una trampa: uno parece necesitar el $G$ -órbita de $A$ a esencialmente (¿Zariski denso?) ser todo el espacio donde $\mathbf{A}$ pertenece. Esto es válido en las instancias anteriores del metateorema. Ahora bien, cuando $A=C,Q$ como en el problema de Jose, estoy menos seguro. Así que ahora no estoy tan convencido de lo que dije en mi comentario anterior de que el problema de Jose $\Phi$ debe ser expresable en términos de $Q,C,\nu$ solo. Aunque, Bruce parece ser capaz de mostrar esto, así que estad atentos.

De hecho no parece necesaria la órbita de $A$ para llenarlo todo, pero se necesita la existencia de un $G$ -extensión invariante de la $\Phi$ Definí al espacio completo de $\mathbf{A}$ . Una idea para ello es encontrar alguna extensión de $\Phi$ no necesariamente invariante y entonces promediarlo sobre $G$ . Por ejemplo, si $G=SL(n)$ hay que tomar la media de la medida de Haar sobre $SU(n)$ . Normalmente si uno hace esto el riesgo es obtener cero, pero esto no puede ocurrir aquí ya que la restricción de la media a $A$ debe ser el original $P$ que debe ser distinto de cero, de lo contrario el problema de expresar $P$ es discutible. Esto suena demasiado bien para ser cierto, en particular a la vista del contraejemplo de Nagata para la generación finita de anillos de invariantes. Un especialista en grupos algebraicos podría delimitar mejor lo que es matemática sólida y lo que es pura fantasía en los argumentos anteriores.

Dado que la pregunta 1 de José es realmente: ¿existe una FFT para $F_4$ ? He buscado brevemente en la literatura y he encontrado este reciente trabajo de Bruno Blind. Tiene algunas buenas referencias, en particular de Gerald Schwarz, que resolvió este problema para $G_2$ y varios artículos de Iltyakov (que demuestra cosas sobre $F_4$ pero utiliza notaciones y definiciones que no entiendo).

Por cierto, otro artículo de Schwarz en AIF trata de los cúbicos binarios. Esto parece estar relacionado con la instancia del metateorema donde $G=SL(4)$ y $H$ es un $SL(2)$ utilizando la 3ª simétrica simétrico. La dirección $A$ en este caso, supongo que sería la curva cúbica retorcida. En general, se necesitaría una hipersuperficie dada por la incrustación de Veronese (principio de transferencia de Hesse mencionado en el programa de Klein). Los clásicos estudiaron el tipo de cosas que se tratan en el artículo de Schwarz en la AIF bajo el epígrafe de "tipos invariantes" véase el libro de Grace y Young Cap. XV y XVI.

La configuración anterior también tiene sentido si $H$ es finito. Me pregunto si se puede demostrar el teorema fundamental de los polinomios simétricos (de forma muy complicada) siguiendo estas líneas. Estaba jugando con $A=x_1\cdots x_n$ o $x_1^p+\cdots+x_n^p$ para alguna potencia bien elegida $p$ pero hay que deshacerse de un toroide o de las raíces de la unidad, así como resolver el problema de la extensión.

---

Actualización: Hace poco me encontré con este artículo de Alexander Schrijver "Subálgebras tensoriales y primeros teoremas fundamentales en teoría invariante" . J. Algebra 319 (2008), no. 3, 1305-1319. Está relacionado con lo que he dicho más arriba ya que deduce la FFT para grupos clásicos a partir de la de de $GL(n)$ .

---

Actualización 2: Una referencia "clásica" mejor (que la de Klein o Meyer) sobre el método anterior es el libro de Turnbull "The Theory of Determinants, Matrices and Invariants". En el capítulo XXI (en la edición de 1960) denomina a estas FFT "teoremas de adyunción", véanse en particular las secciones 10 y 11.

---

Actualización 3: Hay otra referencia interesante con relevancia para el tema principal de este post, a saber, las relaciones entre FFTs para teorías invariantes de diferentes grupos, que es como yo entiendo el Programa de Erlangen. Se trata del preimpresión reciente de Deligne, Lehrer y Zhang inspirada en la artículo clásico de Atiyah, Patodi y Singer donde la FFT para el grupo ortogonal se deduce de la del grupo lineal general.

Answer 2

Primero utilizas dos frases "puede construirse a partir de" y "conjunto generador completo". Creo que entiendo lo que quiere decir, pero es posible que haya un malentendido.

Esperaba obtener una respuesta mejor, ya que lo siguiente es realmente una estrategia y no una prueba completa.

Tome la categoría generada por sus tensores (espero que estemos de acuerdo en lo que eso significa). Entonces se trata de una categoría simétrica rígida. De hecho es lo que Deligne llama una categoría tannakiana junto con un functor de fibra. Entonces la reconstrucción tannakiana reconstruye un esquema de grupo afín que tiene esta categoría como su categoría de representación (creo que en la literatura de física se referirían a Doplicher-Roberts).

Hay un debate sobre la reconstrucción en

Formalismo tannakiano

Entonces si esto no es $F_4$ ¿Qué es?

P.D. ¿Necesita el formulario de volumen? No lo he visto en este contexto.

Answer 3

Esto es más bien un comentario, pero los márgenes son demasiado pequeños para contenerlo.

En $F_4$ es un subgrupo de $O(27)$ . Así, es más fácil construir invariantes en $\mathbb{R}^{27}$ . Véase wikipedia . En este caso hay al menos 4 invariantes:

$$A_n = \delta_{0n}+\delta_{1n}+\delta_{2n}$$ $$Q_{nm} = \delta_{nm}$$ $$\varepsilon^{n_1n_2...n_{27}}$$ $$C_{nmo} = [\text{something complicated}]$$

Nota $Q$ y $\varepsilon$ son las invariantes simétrica y totalmente antisimétrica de $O(27)$ . Y $A$ y $C$ reducen el grupo de simetría a $F_4$ .

Así, si fijamos $A_n x^n=C_1$ , $Q_{nm}x^nx^m=C_2$ , $C_{nmo}x^n x^m x^o=C_3$ el espacio tiene simetría $F_4$ asumiendo $x$ son variables conmutativas. (De hecho $\varepsilon_{n_1n_2...n_{27}}x^{n_1}x^{n_2}...x^{n_{27}}=0$ podría considerarse como la definición de que el $x$ ya que esto no sería cierto para las variables de Grassmann, por ejemplo. Es decir, estamos hablando de geometría conmutativa).

Aquí los índices etiquetan dimensiones (no son potencias).

Podríamos utilizar el primer invariante para eliminar una de las dimensiones, lo que alteraría los demás invariantes.

También observamos que $$Q^{aa'} \propto \varepsilon^{abcd...}\varepsilon^{a'b'c'd'...}Q_{bb'}Q_{cc'}Q_{dd'}...$$

Así que no creo que, la inversa de $Q$ no es un tensor invariante independiente. (Y de todos modos, en este caso en el que $Q_{ab}=\delta_{ab}$ la inversa es obvia)

Desde $F_4$ es un subgrupo de $O(27)$ significa que cada transformación $M$ satisface $M^T=M^{-1}$ lo que significa que podemos contraer los tensores juntos. Los únicos interesantes son $C$ , $\varepsilon$ y $A$ . Por ejemplo podríamos encontrar invariantes como:

$$T_{ab} = A_n C_{nab}$$ Y tal vez: $$U_{ABCD...} = C_{Aaa'}C_{Bbb'}....\varepsilon^{abcdefghijklmnopqrstuvwxyz\omega}\varepsilon^{a'b'c'd'e'f'g'h'i'j'k'l'm'n'o'p'q'r's't'u'v'w'x'y'z'\omega'}$$

Quizás esta sea una mejor manera de contar las invariantes de $F_4$ .

En cuanto a tu pregunta original de si hay más invariantes ¿Aparte de éstas? No lo sé. pero tengo la sensación de que no, ya que esta nueva invariante debería implicar las invariantes más simples.