¿Por qué el logaritmo complejo tiene diferentes ramas?

Question

Tengo una pregunta sobre el logaritmo complejo que he estudiado hace mucho tiempo, por lo tanto ya no está todo claro.

Si no recuerdo mal, el logaritmo complejo general se define como la solución de $e^{w}=z$ . Entonces quiero decir que en este caso si escribimos $z=re^{i\theta}$ decimos que $$w=\log(r)+i(\theta+2\pi k)$$ para todos $k\in \Bbb{N}$ . ¿Lo he entendido bien?

Ahora también sé que definimos la rama natural del logaritmo como $$\log:\Bbb{C}\rightarrow \Bbb{C}\setminus (-\infty,0]$$ donde $\log(re^{i\theta})=\log(r)+i\theta$ donde $\theta\in [-\pi, \pi)$ . En primer lugar, no veo cómo pasamos de la definición general a ésta con rama natural. Y además, ¿por qué aquí quitamos el eje real negativo? ¿Es porque por ejemplo $-1$ la definición no tendría sentido ya que $$\log(-1e^{i-\pi})=log(-1)+(-\pi i)$$ y esto significa $-\pi i=0$ ?

¿Cuál es la explicación detallada?

Answer 1

$\def\Log{\operatorname{Log}}$$ \def\arg {{nombre del operador}} $$\def\cbf{\mathbf{C}}$$ \ que no es lo mismo $$\def\rbf{\mathbf{R}}$ El logaritmo complejo.

El logaritmo complejo es una función multivaluada, que puede escribirse formalmente como $$ \log(z) = \{w\in\cbf:e^w=z\}\;\tag{1} $$ En $z$ es distinto de cero, puede escribirse como $$ \log(z) = \ln|z|+i\arg(z) $$ donde $\arg(z):=\{\theta\in\rbf:\cos\theta+i\sin\theta=\frac{z}{|z|}\}$ . Aquí utilizamos $\ln$ para el logaritmo natural de los números reales positivos.

Así, por ejemplo, $$ \log(2i)=\{\ln 2+\frac{\pi i}{2}+2k\pi i: k\in\zbf\}\;. $$ La exponencial compleja nunca desaparece, así que por nuestra definición (1), $\log(0)$ es el conjunto vacío. Por eso se suele omitir el origen en el dominio $\mathbf{C}$ al hablar del logaritmo complejo.

¿Ramos?

Sea $U$ sea un subconjunto abierto no vacío de $\cbf\setminus\{0\}$ . Una función $f:U\to\cbf$ se denomina rama del logaritmo complejo, si $f(z)\in \log(z)$ para cada $z\in U$ . En otras palabras, para cada $z\in U$ la rama $f$ elige un valor $f(z)$ en el conjunto $\log(z)$ .

Hay muchas opciones de ramas para el logaritmo complejo. Nos interesan las que tienen buenas propiedades, como la homomorficidad (analiticidad).

Resulta que si $U=\cbf\setminus\{0\}$ entonces no hay rama $f:U\to \cbf$ de $\log$ que es holomorfa (en $U$ ). En otras palabras, no importa cómo se elija el valor $f(z)$ para cada $z\in U$ la función $f$ nunca será holomorfa en todo $U$ .

Por otra parte, si $U$ es un subconjunto abierto simplemente conexo de $\cbf\setminus\{0\}$ podemos definir una rama $f:U\to\cbf$ que es holomorfa (en todas las $U$ ). Por ejemplo, la región $U=\cbf\setminus (-\infty,0]$ formado excluyendo el eje real negativo del plano complejo es simplemente conexo y por tanto debe admitir una rama holomorfa del logaritmo complejo. Una de estas ramas es la rama estándar $\Log:\cbf\setminus (-\infty,0]\to\cbf$ definido como $$ \Log(z):=\ln|z|+i\operatorname{Arg}(z)\tag{2} $$ donde $\operatorname{Arg}(z)$ es la rama estándar del argumento, definida como el único argumento en $\arg(z)$ en el intervalo $(-\pi,\pi)$ .

Ejemplos.

... ¿por qué sacamos aquí el eje real negativo?

No hace falta, es sólo una forma de obtener un subconjunto abierto simplemente conexo del plano complejo puntuado $\cbf\setminus\{0\}$ . Pero tenemos que sacar algo para obtener una rama holomorfa.

[Editado.] Hay muchas otras formas de obtener ramas holomorfas del logaritmo.

Puede elegir otra rama del $\arg(z)$ en (2). Por ejemplo, definamos para $z\in\cbf\setminus(-\infty,0]$ , $$ f(z)=\ln|z|+i\theta $$ donde $\theta$ es el único argumento en $\arg(z)$ en el intervalo $(3\pi,5\pi]$ .

Entonces en esta rama, tienes $$ f(1+i)=\ln(\sqrt{2})+i(4\pi+\frac{\pi}{4})\;, $$ mientras que en la rama estándar, tiene $$ \Log(1+i)=\ln(\sqrt{2})+i(\frac{\pi}{4})\;. $$

O puede cambiar el dominio $\cbf\setminus (-\infty,0]$ a algún otro subconjunto abierto simplemente conexo de $\cbf\setminus \{0\}$ por ejemplo, $U=\cbf\setminus [0,+\infty)$ y, a continuación, elegir una rama de la función argumento.

Por ejemplo $f:\cbf\setminus [0,+\infty)\to\cbf$ sea $$ f(z)=\ln|z|+i\theta\tag{3} $$ donde $\theta$ es el único argumento en $\arg(z)$ en el intervalo $(0,2\pi)$ .

Answer 2

Sí, $w\in\Bbb C$ es un logaritmo de $z\in\Bbb C$ si $e^w=z$ . Y, sí, si $z=re^{i\theta}$ y $w$ es un logaritmo de $z$ entonces $w=\log(r)+i(\theta+2k\pi)$ para algunos $k\in\Bbb Z$ .

Normalmente, si sólo podemos trabajar con números complejos $z\in\Bbb C\setminus(-\infty,0]$ trabajamos con el logaritmo principal $\log\colon\Bbb C\setminus(-\infty,0]\longrightarrow\Bbb C$ que es tal que $\log(re^{i\theta})=\log(r)+i\theta$ (suponiendo que $\theta\in(-\pi,\pi)$ ). Obsérvese que $\log(r)+i\theta$ es un logaritmo de $z$ y que es la más sencilla. Eso la convierte en una elección natural.

Entonces, ¿por qué no ampliamos esto a un mapa de $\Bbb C\setminus\{0\}$ en $\Bbb C$ ? Podríamos hacerlo si mapeáramos $re^{i\theta}$ ( $\theta\in[-\pi,\pi)$ ) en $\log(r)+i\theta$ . Problema: ya no sería una función continua. Y no hay nada malo con el intervalo $[-\pi,\pi)$ ; si hubiéramos utilizado el intervalo $(-\pi,\pi]$ tendríamos el mismo problema.

En términos más generales, existe no función continua $l\colon\Bbb C\setminus\{0\}\longrightarrow\Bbb C$ tal que, para cada $z\in\Bbb C\setminus\{0\}$ , $l(z)$ es un logaritmo de $z$ .