Sea $\xi1, \xi2, \xi3$ - independientes y tienen distribución de probabilidad simétrica cuyo centro de simetría es 0. Sea $P(|\xi1+\xi2+\xi3| \leqslant C)=1$ donde $C > 0$ . Demostrar que $P(|\xi1|+|\xi2|+|\xi3| \leqslant C)=1$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El acontecimiento $\{|\xi_1|+|\xi_2|+|\xi_3|>C\}$ puede escribirse como unión disjunta de $8$ eventos y uno de ellos es: $$\{|\xi_1|+|\xi_2|+|\xi_3|>C\}\cap\{\xi_1\geq0\}\cap\{\xi_2\geq0\}\cap\{\xi_3\geq0\}\tag1$$
Para que quede claro a qué acontecimientos me refiero, le diré que uno de los otros es, por ejemplo: $$\{|\xi_1|+|\xi_2|+|\xi_3|>C\}\cap\{\xi_1<0\}\cap\{\xi_2<0\}\cap\{\xi_3\geq0\}$$
Ahora bien $P(|\xi_1|+|\xi_2|+|\xi_3|>C)>0$ entonces también el acontecimiento mencionado en $(1)$ tiene probabilidad positiva. Esto en base al hecho de que este evento es el único entre los $8$ que tenga la máxima probabilidad.
Sin embargo, esto implica que también el acontecimiento $\{|\xi_1+\xi_2+\xi_3|>C\}$ debe tener probabilidad positiva. Esto se basa en el hecho de que el evento en $(1)$ es un subconjunto de $\{|\xi_1+\xi_2+\xi_3|>C\}$ .
Así que se ha encontrado una contradicción.
