Supongamos que $V$ es de dimensión finita y $T_1,T_2∈L(V,W)$ . Demostrar que $rangeT_1 ⊂ rangeT_2$ si y sólo si existe $S∈L(V,V)$ tal que $T_1=T_2S$

Question

Supongamos que $V$ es de dimensión finita y $T_1,T_2L(V,W)$ . Demostrar que $\text{range}(T_1) \text{range}(T_2)$ si y sólo si existe $SL(V,V)$ tal que $T_1=T_2S$

Me cuesta mucho este tipo de problemas que piden prueba de existencia, por favor ayuda con una prueba rigurosa y un proceso genérico para estos problemas, ¡gracias!

Answer 1

Sea $\{e_1,e_2,\ldots, e_n\}$ sea una base para $V$ entonces su hipótesis para cada $1\leq i\leq n, \exists f_i \in V$ tal que $$ T_1(e_i) = T_2(f_i) $$ Defina $S(e_i) := f_i$ y extenderlo linealmente a todo $V$ . Ahora $$ T_1(e_i) = T_2S(e_i) \quad\forall 1\leq i\leq n $$ y así $T_1 = T_2S$ debe aguantar $V$ .