Definición de los números reales mediante sólo una mitad de los cortes de Dedekind

Question

Spivak define un número real como un conjunto $\beta$ de números racionales con las cuatro propiedades siguientes:

(1) si $x$ está en $\beta$ y $y$ es un número racional con $y < x$ entonces $y$ también está en $\beta$
(2) $\beta$ es un conjunto no vacío
(3) $\beta$ no es igual a $\mathbb{Q}$ (conjunto de números racionales)
(4) no hay ningún elemento mayor en $\beta$

Ejemplo: $2^{1/2} = \{ x : x < 0 \text{ or } x^2 < 2 \}$

Mi pregunta es: ¿por qué Spivak define los números reales sólo por el lado inferior de un corte de Dedekind? Como referencia, compare esta definición con:

Un recorte en $\mathbb{Q}$ es un par de subconjuntos $A$ , $B$ de $\mathbb{Q}$ tal que

(a) $AB=\mathbb{Q}$ , $A\ne\emptyset$ , $B\ne\emptyset$ , $AB=\emptyset$ .

(b) si a es un elemento de A y b un elemento de B, entonces a es mayor que b

(c) A no contiene ningún elemento mayor

Ejemplo: (i) $1 = \{r\mathbb{Q}:r<1\}\cup\{r\mathbb{Q}:r1\}$ .

Pregunta al margen: en el ejemplo anterior, ¿qué hace exactamente el $x<0$ ¿condición hacer? Me parece superflua.

Answer 1

Es una cuestión de convención. Bien podría definir un número real como el per $(\beta,\mathbb{Q}\setminus\beta)$ . O por $\mathbb{Q}\setminus\beta$ .

En cuanto a la pregunta complementaria, es pas superfluo. Si no hubiera añadido esa condición, entonces tendríamos $0\in\beta$ y $-2\notin\beta$ . Eso es imposible, por la definición de corte Dedekind.

Answer 2

La idea detrás de los cortes de Dedekind es asociar a cada número real a único partición de $\mathbb{Q}$ en un par de subconjuntos.

Para un número irracional $r$ es fácil: considere $$ L_r=\{x\in\mathbb{Q}:x\le r\} \qquad U_r=\{x\in\mathbb{Q}:x\ge r\} $$ Por racional $r$ existe un obstáculo: ¿qué subconjunto debe $r$ ¿Pertenecen?

Dejando de lado este problema por un momento, vemos que los subconjuntos $L_r$ y $U_r$ (para irracional $r$ satisfacen las propiedades

1. $L_r\ne\emptyset$ , $U_r\ne\emptyset$
2. $L_r\cap U_r=\emptyset$
3. $L_r\cup U_r=\mathbb{Q}$
4. si $x\in L_r$ y $y<x$ entonces $y\in L_r$
5. si $x\in U_r$ y $y>x$ entonces $y\in U_r$

Lo mismo ocurriría con los racionales $r$ a excepción de la propiedad 2. Para tratar este caso tenemos que decidir qué clase $r$ debería pertenecer. Hay al menos tres formas de hacerlo:

1. añada la condición de que $L_r$ no tiene un máximo
2. añada la condición de que $U_r$ no tiene un mínimo
3. añada la condición de que $L_r\cap U_r$ contiene como máximo un elemento

Así que tenemos tres posibles definiciones competidoras de un corte Dedekind como un par de subconjuntos $A$ y $B$ de $\mathbb{Q}$ tal que

Definición 1

1. $A\ne\emptyset$ , $B\ne\emptyset$
2. $A\cap B=\emptyset$
3. $A\cup B=\mathbb{Q}$
4. si $x\in A$ y $y<x$ entonces $y\in A$
5. si $x\in B$ y $y>x$ entonces $y\in B$
6. $A$ no tiene un máximo

Definición 2

1. $A\ne\emptyset$ , $B\ne\emptyset$
2. $A\cap B=\emptyset$
3. $A\cup B=\mathbb{Q}$
4. si $x\in A$ y $y<x$ entonces $y\in A$
5. si $x\in B$ y $y>x$ entonces $y\in B$
6. $B$ no tiene un mínimo

Definición 3

1. $A\ne\emptyset$ , $B\ne\emptyset$
2. $A\cap B$ contiene como máximo un elemento
3. $A\cup B=\mathbb{Q}$
4. si $x\in A$ y $y<x$ entonces $y\in A$
5. si $x\in B$ y $y>x$ entonces $y\in B$

Elegir uno de ellos es sólo una cuestión de preferencias personales.

Spivak eligió la definición 1, descartando el "conjunto superior", que obviamente puede deducirse del "conjunto inferior", dadas las propiedades 2 y 3.

Answer 3

Si llamamos corte de Spivak a algo que satisface las condiciones de Spivak, entonces cada corte de Spivak define un corte de Dedekind, y viceversa. Una vez que se le da $\beta$ es trivial definir $B$ como el conjunto de racionales que están en $\beta$ y $A$ como el conjunto de los racionales que no lo son. Es de suponer que Dedekind definió los cortes como particiones porque quería trabajar con ambos conjuntos, mientras que Spivak puede hacer todo lo que quiera con el conjunto inferior.