Spivak define un número real como un conjunto $\beta$ de números racionales con las cuatro propiedades siguientes:
(1) si $x$ está en $\beta$ y $y$ es un número racional con $y < x$ entonces $y$ también está en $\beta$
(2) $\beta$ es un conjunto no vacío
(3) $\beta$ no es igual a $\mathbb{Q}$ (conjunto de números racionales)
(4) no hay ningún elemento mayor en $\beta$
Ejemplo: $2^{1/2} = \{ x : x < 0 \text{ or } x^2 < 2 \}$
Mi pregunta es: ¿por qué Spivak define los números reales sólo por el lado inferior de un corte de Dedekind? Como referencia, compare esta definición con:
Un recorte en $\mathbb{Q}$ es un par de subconjuntos $A$ , $B$ de $\mathbb{Q}$ tal que
(a) $AB=\mathbb{Q}$ , $A\ne\emptyset$ , $B\ne\emptyset$ , $AB=\emptyset$ .
(b) si a es un elemento de A y b un elemento de B, entonces a es mayor que b
(c) A no contiene ningún elemento mayor
Ejemplo: (i) $1 = \{r\mathbb{Q}:r<1\}\cup\{r\mathbb{Q}:r1\}$ .
Pregunta al margen: en el ejemplo anterior, ¿qué hace exactamente el $x<0$ ¿condición hacer? Me parece superflua.