composición de dos funciones uniformemente continuas.

Question

Deje que $f : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ y $g : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ son dos funciones uniformes y continuas. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta y por qué?

1. $f(g(x))$ es uniformemente continua.

2. $f(g(x))$ es continua pero no uniformemente continua.

3. $f(g(x))$ es continua y limitada.

Mi intento:

Cada función uniformemente continua asigna una secuencia Cauchy a una secuencia Cauchy. (Aquí tengo una duda, ya que lo contrario puede no ser cierto). Así que si $\{x_n\}$ ser una secuencia caucásica, $\{f(x_n)\}$ y $\{g(f(x_n))\}$ ambos serán de la secuencia Cauchy. Así que $g(f(x))$ será uniformemente continua, es decir, 1 es cierto.

La función compuesta de dos funciones continuas será continua. Como 1 es verdadero, 2 es falso.

$f(x) = x $ es uniformemente continua. $g(x) = \log (x)$ es uniformemente continua en $[1, \infty )$ . Así que $g(f(x)) = \log (x)$ es uniformemente continua en $[1, \infty )$ pero no en $ \mathbb {R}$ .

Gracias por su ayuda.

Answer 1

• Opción $(1):$ Es cierto:

  Elija $\epsilon>0.$

  Entonces $\exists~\delta_1>0$ tal que $|x_1-x_2|<\delta_1$$ |f(x_1)-f(x_2)|<epsilon.$

  Para lo anterior $\delta_1>0~\exists~\delta>0$ tal que $|x_1-x_2|<\delta$$ |g(x_1)-g(x_2)|<delta_1.$

  En consecuencia, $|x_1-x_2|<\delta$$ |(f\circ g)(x_1)-(f\circ g)(x_2)|<epsilon.$

• Opciones $(2),~(3):$ No es necesariamente cierto:

  Tome $f(x)=g(x)=x$ en $\mathbb R.$

  Entonces $f,g$ son uniformemente continuas en $\mathbb R.$

  Nota $(f\circ g)(x)=x$ es ilimitada y uniformemente continua en $\mathbb R.$

Answer 2

Su sospecha está justificada. El argumento que das para la validez de 1 es defectuoso ya que sólo muestra que el compuesto preserva las secuencias de Cauchy, pero no muestra que el compuesto es uniformemente continuo. Intenta trabajar directamente con la definición de continuidad uniforme para dar una prueba directa.

Puedes facilitar las cosas con el ejemplo contrario al 3: Toma $f(x)=g(x)=x$ en $\mathbb R$ .

Answer 3

No creo que la composición de dos funciones continuas uniformes sea continua uniforme...... mi argumento es... que F sea una función de $(0,1)$ a $(0,1)$ y $F(x)=x$ ahora dejemos que G sea otra función de $[0,1]$ a $[0,1]$ y $G(x)=x^2$ entonces G compone F se define como de $(0,1)$ a $[0,1]$ y G compone f es x^2 que no es uniforme en $(0,1)$ . pero F y G son uniformes.