Resolución de valores propios: La forma habitual y la diferente

Question

La mayoría de las veces me he encontrado con autores que dada una matriz característica, proceden a encontrar sus valores propios resolviendo para la $\left | A - \lambda I \right |=0 $ y luego resolver el polinomio característico.

Mientras jugaba con el concepto, razoné que $A-\lambda I$ siempre tendrá un rango inferior a 'n' donde $n$ es el número de variables para $\mathbf{X}$ para tener una solución no trivial.

Así que me puse a resolver la forma escalonada de la matriz de coeficientes $A-\lambda I$ en el camino, demostrando que en la forma escalonada, una de las filas debe desaparecer para satisfacer la condición de rango, y así igualar la última fila, última columna a 0, lo que casi siempre me daba el polinomio característico.

Mi pregunta es:

• ¿alguien ha intentado resolverlo de esta manera?

• ¿Ofrece esta forma alguna ventaja computacional sobre el cálculo de determinantes cuando 'n' aumenta?

Alguna idea al respecto.

Answer 1

Su razonamiento es correcto.

Sin embargo, numéricamente, el cálculo de la forma fila-echelón es un proceso inestable (eliminación gaussiana).

Answer 2

Reducir una matriz a la forma triangular superior sumando repetidamente múltiplos de una fila a otra es uno de los métodos para calcular determinantes, así que debería funcionar aquí. Tenga en cuenta que en realidad no necesita una forma escalonada reducida, o incluso una forma escalonada, para obtener el determinante de esta manera.

Intercambiando filas se invierte el signo del determinante. Multiplicar una fila por un escalar multiplicará el determinante por ese escalar. Estos son fáciles de deshacer al final, ya que ibas a dividir por el coeficiente principal para hacer el polinomio característico mónico de todos modos.

Pero hay que tener cuidado al multiplicar o dividir por polinomios. Te saldrán mal las cosas a menos que tengas suerte y cometas errores de compensación. En realidad, la mejor manera de tener cuidado es simplemente no hacerlo.