Clases características de los haces de bloques

Question

Los haces de bloques son análogos PL de los haces vectoriales, véase, por ejemplo, Rourke-Sanderson's artículo en Bulletin of AMS, 1966. Existe un espacio de clasificación $B\widetilde{PL}_q$ para el rango $q\ $ paquetes de bloques, que es un análogo PL de $BO_q$ y existen espacios clasificatorios similares $B\widetilde{SPL}_q$ , $BSO_q$ para paquetes orientados.

Pregunta. Es el tipo homotópico racional de $B\widetilde{SPL}_q$ registrados en la bibliografía?

Hace mucho tiempo Colin Rourke me explicó cómo calcular el tipo de homotopía racional de $B\widetilde{SPL}_q$ pero no encuentro la correspondencia. Si no me falla la memoria, el resultado fue el siguiente.

1. Si $q\ge 3$ es par, entonces $H^*(B\widetilde{SPL}_q;\mathbb Q)$ es un álgebra polinómica sobre las clases de Pontryagin y la clase de Euler. La clase Euler se da en grado $q$ mientras que las clases Pontryagin se dan en todos los grados divisibles por $4$ (que es diferente de $BSO_q$ donde no hay clases Pontryagin en grados $\ge 2q$ ).

2. Si $q\ge 3$ es impar, entonces $H^*(B\widetilde{SPL}_q;\mathbb Q)$ un álgebra polinómica sobre las clases de Pontryagin, que se dan en todos los grados divisibles por $4$ y una nueva clase en grado $2q-2$ que surge de los trabajos de Haefliger y Hirsch.

3. Si $q\le 2$ entonces $BSO_q\to B\widetilde{SPL}_q$ es una equivalencia homotópica racional.

Como es habitual, las clases Pontryagin son estables, es decir, sobreviven en $B\widetilde{SPL}\approx BPL$ mientras que la clase de Euler y las clases de Haefliger-Hirsch mueren en $B\widetilde{SPL}_{q+1}$ . Recuerdo que la prueba de 1-2 no era demasiado difícil, y probablemente pueda reconstruirla, pero sería mucho mejor si estuviera escrita en algún sitio.

Answer 1

No sé dónde están escritos los resultados en un solo lugar (¿quizás en el libro de Madsen y Milgram?), pero véase al final de este post una lista de referencias.

En cualquier caso, he aquí una demostración del resultado para $q \ge 3$ .

Por un resultado de Haefliger, existe un cuadrado cartesiano homotópico $$ B\widetilde{PL}_q \quad \to \quad BG_q $$ $$ \downarrow \qquad \qquad \quad \downarrow $$ $$ B\widetilde{PL} \quad \to \quad BG $$ donde $BG_q$ clasifica orientado $(q-1)$ -fibraciones esféricas, $BG$ clasifica las fibraciones esféricas orientadas estables y $B\widetilde{PL}$ clasifica los paquetes de bloques estables. Racionalmente, $BG$ es trivial (ya que sus grupos de homotopía son los grupos de homotopía estables desplazados de esferas), y $B\widetilde{PL}\simeq BPL$ es racionalmente débilmente equivalente a $BO$ .

En consecuencia, existe una equivalencia racional $$ B\widetilde{PL}_q \simeq BO \times BG_q . $$ Basta con identificar el tipo de homotopía racional de $BG_q$ .

Tenga en cuenta que $G_q$ es el monoide topológico de autoequivalencias de $S^{q-1}$ . Sea $SG_q \subset G_q$ sea el submonoide de mapas propios de grado uno. Entonces $BSG_q \to BG_q$ también es una equivalencia racional (tienen los mismos grupos homotópicos racionales). Por tanto, basta con identificar $BSG_q$ racionalmente (nota: la ventaja de $SG_q$ en $G_q$ es que el primero está conectado).

Caso 1, $q$ es par: Si $q$ es par, entonces $S^{q-1}$ es racionalmente equivalente a un espacio de Eilenberg-Mac Lane $K(\Bbb Q,q-1)$ . Utilizando la secuencia de fibras $SF_{q-1} \to SG_q \to S^{q-1}$ (donde $SF_{q-1}$ es el monoide topológico de grado uno de los automapas puntiformes de $S^{q-1}$ ) y el hecho que se acaba de señalar, vemos que $SF_{q-1}$ es racionalmente trivial, por lo que $SG_{q}$ es racionalmente $K(\Bbb Q,q-1)$ .

En consecuencia, $BSG_q$ es racionalmente $K(\Bbb Q,q)$ cuando $q$ es par, por lo que obtenemos una equivalencia racional $$ B\widetilde{PL}_q \simeq BO \times K(\Bbb Q,q) $$ cuando $q \ge 3$ es par.

Caso 2, $q$ es impar: En este caso $S^{q-1}$ no es racionalmente un espacio de Eilbenberg-Mac Lane. Pero hay una secuencia racional de fibras $$ S^{q-1} \to K(\Bbb Q,q-1) \to K(\Bbb Q,2q-2) . $$ Argumentando de forma similar al caso 1, vemos que $SG_{q-1}$ es racionalmente $K(\Bbb Q,2q-3)$ . Por lo tanto $BSG_q$ es racionalmente $K(\Bbb Q,2q-2)$ y obtenemos una equivalencia racional $$ B\widetilde{PL}_q \simeq BO \times K(\Bbb Q,2q-2) . $$

Anexo

(1). El teorema de Haefliger puede encontrarse en

Haefliger, André : Incrustaciones diferenciales de $S^n$ en $S^{n+q}$ para $q>2$ . Ann. of Math. 83 (1966), 402-436.

La prueba utiliza cirugía enmarcada incrustada.

(2). En el libro de Wall, dice que el caso $q=2$ se deduce de

Wall, C.T.C.: Locally flat PL submanifolds with codimension two. Proc. Cambridge Philos. Soc. 63 (1967) 5-8.

(3) La prueba de que $B\widetilde{PL}\simeq BPL$ es una consecuencia del artículo de Rourke y Sanderson sobre haces de bloques:

Rourke, C. P.; Sanderson, B. J.: Block bundles. Toros. Amer. Math. Soc. 72 (1966) 1036-1039.

(4). La prueba de que $BO \to B\widetilde{PL}$ es racional la requivalencia es una consecuencia del trabajo de Kervaire y Milnor (que equivale a la secuencia de Browder-Novikov para una esfera), ya que $\pi_n(\widetilde{PL}/O)$ es el grupo de homotopía exótica $n$ -esferas (al menos si $n \ge 5$ ), y éste es un grupo finito.

Answer 2

Notas de Jacob Lurie parecen indicar que BSPL es racionalmente homotópica equivalente a BSO.