Cortar un conjunto Julia en infinitos trozos en un número finito de puntos

Question

Sea $f\colon \widehat{\mathbb{C}}\to \widehat{\mathbb{C}}$ sea una función racional de grado dos o mayor cuyo conjunto Julia $J_f$ está conectado. Si $S\subseteq J_f$ es un conjunto finito de puntos periódicos, ¿es posible que el complemento $J_f\setminus S$ tiene infinitas componentes conectadas? Me interesa especialmente el caso en que $f$ es hiperbólico.

Answer 1

Para un polinomio, esto equivale a preguntarse si puede haber infinitos rayos externos que aterricen en un único punto. Esto sólo puede ocurrir si la función tiene un punto de Cremer (es decir, un punto periódico irracionalmente indiferente no linealizable). Si el punto de Cremer es accesible desde el complemento, entonces cualquier rayo externo que aterrice en él tendría que ser no periódico por el llamado "lema del caracol", lo que significa que entonces sí que habría infinitos rayos aterrizando en el mismo punto. Sin embargo, creo que sigue siendo una incógnita si esto es así o no.

Como los mapas hiperbólicos no tienen puntos de Cremer, lo que preguntas es imposible en el caso hiperbólico. Creo que, del mismo modo, para los mapas racionales hiperbólicos es imposible, y probablemente de forma más general siempre que el conjunto de Julia sea localmente conexo.

Answer 2

Bien, $f(z)=z^2$ tiene grado 2, y $S=\{1,-1\}$ es un conjunto de puntos periódicos. Entonces $J_f \setminus S$ consta de dos componentes.