¿Qué importancia tiene que la resolución de Springer sea un mapa de momentos?

Question

Sea $\mathcal{B}$ sea la variedad bandera y $\mathcal{N} \subset \mathfrak{g}$ es el cono nilpotente. Sabemos que la resolución de Springer $$\mu: T^*\mathcal{B}\rightarrow \mathcal{N}$$

es el mapa de momentos, si identificamos $\mathfrak{g}$ con $\mathfrak{g}^*$ por la forma Killing y considerar $\mathcal{N} \subset \mathfrak{g}$ como subconjunto de $\mathfrak{g}^*$ .

Hasta donde yo sé, la construcción geométrica del grupo de Weyl y $U(sl_n)$ no implica mapa de momentos o incluso geometría simpléctica, como en el artículo "Geometric Methods in Representation Theory of Hecke Algebras and Quantum Groups"

Mi pregunta es: ¿cuál es la consecuencia de que la resolución de Springer sea un mapa de momentos?

Answer 1

Una razón para enfatizar el papel de la resolución de Springer como mapa de momentos es que es la sombra semiclásica de la localización de Beilinson-Bernstein. Pasando más precisamente a las funciones, la descripción del mapa de momentos afirma que el mapa de Springer está describiendo las funciones hamiltonianas en la cotangente a la variedad bandera que generan la acción del álgebra de Lie. Ahora podemos cuantizar el haz cotangente $T^* G/B$ al anillo de operadores diferenciales sobre $G/B$ y cuantizar igualmente el espacio dual $g^*$ al álgebra de Lie al álgebra universal envolvente $Ug$ de modo que el mapa de momentos describe el mapa de $Ug$ a operadores diferenciales globales en la variedad bandera. Lo verdaderamente significativo del mapa de Springer (es una resolución biracional, propia, simpléctica [crepante] de singularidades [racionales]) se traduce ahora en la equivalencia Beilinson-Bernstein (para parámetros genéricos) entre $Ug$ -y módulos D (retorcidos) en la variedad bandera, la piedra angular de la teoría geométrica de la representación. En la actualidad existe todo un tema (maravillosamente representado en un taller celebrado la semana pasada en Luminy) que trata de generalizar todas las características de esta configuración a otras resoluciones simplécticas y sus cuantizaciones, consideradas como escenarios de "nuevas teorías de la representación" (los ejemplos principales son los esquemas de Hilbert y otras variedades quiver).

Answer 2

La respuesta corta podría ser que este punto de vista proporciona una forma alternativa atractiva de construir la resolución de Springer como un caso especial en un marco geométrico más amplio, siguiendo las ideas de Kostant y Souriau. No estoy en absoluto cualificado para intentar una explicación más profunda de la importancia de este punto de vista, pero lo que puedo hacer es animarte a explorar la literatura más allá de lo que Ginzburg hace en su libro con Chriss o en sus notas resumidas de la conferencia que citas de las actas de la conferencia de 1997 en la U. Montreal (publicadas en arXiv: Métodos geométricos en la teoría de la representación de álgebras de Hecke y grupos cuánticos ). En las exposiciones resulta cómodo utilizar el caso lineal especial como ejemplo principal, pero esto, por supuesto, induce a error en cuanto a las delicadas complicaciones del caso general, que fomentan el desarrollo de múltiples enfoques.

En particular, durante la década de 1980, Walter Borho, Jean-Luc Brylinski, Robert MacPherson y otros realizaron importantes trabajos paralelos sobre varios problemas relacionados. En mi intento de reseña de un artículo de Ginzburg (publicado en MathSciNet) aparecen algunas referencias detalladas:

• MR847727 (87k:17014) Ginsburg, V., $\mathfrak{g}$ -módulos, representaciones de Springer y clases de Chern bivariantes. Av. in Math. 61 (1986), nº 1, 1-48. [Nótese que el primer símbolo del título se imprimió originalmente en mayúsculas, pero se refiere a un álgebra de Lie].

Supongo que es legal citar el comentario final de mi crítica:

"El tema desborda muchas de las líneas divisorias convencionales entre disciplinas. En sus resúmenes preparados para el Congreso Internacional de Matemáticos de Berkeley (1986), el autor y Borho tratan muchos de los mismos temas, pero el del autor aparece en la sección "Grupos de Lie y representaciones", mientras que el de Borho aparece en la sección "Álgebra". Ambos podrían situarse igualmente en la sección "Algebraic geometry"".

Resulta útil consultar esos informes de ICM (ahora disponibles en línea: Ginzburg, Aspectos geométricos de la teoría de la representación Borho, Órbitas nilpotentes, ideales primitivos,
y clases características (un estudio) ), así como las notas incompletas de las conferencias de Borho en el Canad. Math. Soc. Conf. Proc. 5 (1986) ( MathReviews , Google Libros ), cuya interesante Parte II no se publicó. Los trabajos de investigación más técnicos de Borho y Brylinski en Invent. Math. 1982 y 1985 ( Parte I , Parte III con un hueco entre ellas) dan una idea más clara de cómo encajan las piezas. También está la monografía B-B-M de 1989 Órbitas nilpotentes, ideales primitivos y clases características , Birkhauser series Progress in Mathematics, 78, doi: 10.1007/978-1-4612-4558-2 . La moraleja de la historia parece ser que aquí está en juego algo más que la construcción aislada de la resolución Springer. Soy consciente de que esto no responde directamente a su pregunta, sino que puede complicarla aún más.

[AÑADIDO] Después de echar otro vistazo a las notas de Borho, entiendo que el mapa de momentos se utiliza inicialmente para situar la construcción de la resolución de Springer en una imagen clásica ya comprendida. Aquí la variedad bandera es una variedad completa $X$ con una acción natural del álgebra de Lie (vista como campos vectoriales). La acción induce $\mu: T^*X \rightarrow \mathfrak{g^*}$ (identificado con $\mathfrak{g}$ a través de la forma Matar). A su vez, parte de la teoría general permite ver en el caso especial que la imagen de $\mu$ es precisamente el cono nilpotente $\mathcal{N}$ (utilizando la ortogonalidad del nilradical de una subálgebra de Borel a dicha álgebra bajo la forma de Killing y tomando la saturación del nilradical bajo el grupo reductor). Análogamente se ve que $\mathcal{N}$ es normal (Kostant) y que $\mu$ es una resolución de singularidades.