Caracterización de funciones diferenciables de $\mathbb{R}^m$ a $\mathbb{R}^n$ .

Question

Sea $U\subset\mathbb{R}^m$ sea un conjunto abierto. Consideremos una función $f:U\to\mathbb{R}^n$ y un punto $a\in U$ .

Necesito ayuda para demostrar que las siguientes frases son equivalentes.

(a) Existe un mapa lineal $f'(a):U\to\mathbb{R}^n$ s $$f(a+v)-f(a)=f'(a)\cdot v+r(v),$$ donde el "resto" $r(v)$ satisface $$\lim_{v\to 0}\frac{\|r(v)\|}{\|v\|}=0.$$

(b) Para cada $h\in\mathbb{R}^m$ tal que $a+h\in U$ existe un mapa lineal $A(h):\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ tal que $A(h)\cdot h=f(a+h)-f(a)$ y $h\mapsto A(h)$ es continua en $h=0$ .

La primera frase es la definición común de diferenciabilidad en un punto. ¿Podría alguien darme alguna idea para resolverlo?

Gracias.

Answer 1

La implicación (b) $\Rightarrow$ (a) es evidente.

Para la demostración de (a) $\Rightarrow$ (b) podemos suponer que $n=1$ es decir, que $f$ es una función escalar. La derivada de $f$ en $a$ aparece como gradiente $\nabla f(a)$ . Por lo tanto, tenemos que demostrar la existencia de una función vector-valorada ${\bf v}:\>h\mapsto{\bf v}(h)$ definido en una vecindad $U$ de $h=0$ y continua en $0$ tal que $${\bf v}(h)\cdot h=f(a+h)-f(a)\qquad(h\in U)\ .$$ La función $${\bf v}(h):={f(a+h)-f(a)-\nabla f(a)\cdot h\over|h|}\>{h\over|h|}+\nabla f(a)\qquad(h\in\dot U),\qquad{\bf v}(0):=\nabla f(a)$$ cumple estos requisitos.