¿Es cierta la ley de Murphy?

Question

Estaba leyendo esta pregunta que me hizo reflexionar sobre el viejo dicho "todo lo que pueda salir mal eventualmente saldrá mal", también conocido como la ley de Murphy, y comencé a pensar en maneras de demostrar/refutarlo.

Encontré esta prueba de la 'ley de Murphy' pero aquí parecen asumir que la probabilidad del evento permanece no nula (la suposición es $\mathbb P (A \mid A_n^c)>\epsilon$). Sin embargo, según lo que sé, un 'evento posible' no necesita tener una probabilidad no nula, solo debe ser un evento medible, y puede tener medida cero en su lugar.

Por ejemplo, si tenemos un espacio muestral $(\mathbb R, \mathcal B, \mathbb P)$ donde $\mathbb P$ es la medida de Lebesgue, entonces cualquier singleton $\lbrace a \rbrace$ tiene medida cero. Si seguimos dibujando singletons, ¿eventualmente dibujaremos algún singleton en particular? Intenté pensar en términos del Lema de Borel-Cantelli y definir un evento algo así como $E_n = a \in\lbrace d_1, d_2, \dots,d_n \rbrace $ donde $d_i$ es el dibujo $i$ pero parece que para cualquier $n$, $\mathbb P(E_n)=0$ por lo que parece contradecir la 'ley de Murphy'.

Entonces supongo que mi pregunta principal es: ¿hay alguna afirmación general que se pueda hacer sobre secuencias infinitas de eventos donde los eventos tengan probabilidad cero? ¿Existe algún experimento donde $\mathbb P (E_n)=0$ pero $\mathbb P(E_n \text{ al menos una vez a medida que } n\rightarrow \infty) =1$?

Answer 1

Por aditividad contable, si todos los $\mathbb P(E_n) = 0$ entonces $\mathbb P(\bigcup_{n=1}^\infty E_n) = 0$.

Donde puedes obtener probabilidades no nulas es para la unión de un número incalculable de eventos, cada uno con probabilidad $0$.

Answer 2

Si estás pensando en la realidad física (observable), a la que normalmente se refiere la Ley de Murphy, entonces necesitamos ser muy específicos sobre la estructura (matemática) de la realidad. ¿Es el tiempo discreto o continuo? ¿Determinista o aleatorio? Hay demasiadas preguntas científicas y filosóficas sin resolver para declarar que la Ley de Murphy es realmente verdadera o falsa.

Algunos creen que todos los universos posibles existen en algún sentido, lo cual significaría que eventualmente todo lo posible sucede (en algún lugar). Sin embargo, si nos restringimos al futuro de nuestro universo (observable), entonces puede haber cosas posibles que no ocurran. Por supuesto, todo depende de la estructura detallada (y no resuelta) de nuestro universo en particular.

Por ejemplo, podría haber escrito un montón de tonterías, una cadena completamente aleatoria de letras y enviado eso como mi respuesta aquí. Sin embargo, en lugar de eso, publiqué una respuesta significativa, razonable y honesta -- por supuesto, como lector, ¡puedes no estar de acuerdo con esa afirmación!

Dado que solo tengo una oportunidad para enviar una primera respuesta, ahora sabemos de algo que era posible, pero que no ocurrió, por lo tanto la Ley de Murphy es falsa. Aunque, hay profundas cuestiones filosóficas sin resolver aquí.

Por supuesto, esta no es una respuesta matemática y probablemente recibirá votos negativos. Solo por si acaso, sigue un ejemplo matemático informal.

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Toma el conjunto de funciones que tienen $\mathbb{R}$ como rango y que $f:[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$. Seguramente hay incontables, y si seleccionamos una con alguna regla al azar, entonces cada resultado tiene probabilidad cero. Si pensamos en $f(t)$ como el estado de un proceso en el tiempo $t$, entonces la probabilidad de cualquier resultado individual en cualquier momento particular es cero (dada una regla aleatoria apropiadamente elegida). Nota que no estamos asumiendo ningún tipo de propiedad de continuidad o suavidad para las funciones. Sin embargo, para cualquier $x\in\mathbb{R}$, eventualmente habrá un $t$ tal que $f(t)=x$. Por supuesto, necesitamos más detalles para determinar qué tan rápido sucede eso, pero todas las realizaciones del proceso alcanzan todos los números reales. En ese sentido, se podría decir que eventualmente ocurren todos los resultados posibles aunque cada resultado tiene probabilidad cero.

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Un ejemplo más formal es el Movimiento Browniano. El movimiento browniano alcanza cualquier número real arbitrario $x$ en tiempo finito con probabilidad uno. Sin embargo, el tiempo esperado para alcanzar $x$ es infinito. Por lo tanto, a medida que avanza el tiempo, una trayectoria del Movimiento Browniano eventualmente golpeará cada número real.