Deje $F$ ser un campo de función de una variable sobre un campo $k$. Deje $S$ ser finito no vacío es subconjunto de todos los lugares de $F$. Probar que si $P \in S$, hay un elemento $f$ $F$ tal que $P$ es el único polo de $f$.
Respuesta
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Deje $X$ ser la suave curva proyectiva con $F=k(X)$, y supongamos que se tiene género $g$. Deje $S=\{x_1,\ldots,x_m\}$ y deje $D_{(n_1,\ldots,n_m)}$ ser el divisor
$$\sum_i n_i x_i$$
para $(n_1,\ldots,n_m)\in \mathbb{Z}^m$. Luego, simplemente como una manera de reconocer el razonamiento de la siguiente enfoque, tenga en cuenta que
$$O_S=\bigcup_{(n_1,\ldots,n_m)}\mathcal{O}(D_{(n_1,\ldots,n_m)})(X)$$
Así que, supongo que, en su pregunta que desee $P\in S$, no $P\in X$--definitionally si $P\notin S$, ninguna de las $f\in O_S$ no tiene un polo en $P$. Así que, supongamos, sin pérdida de generalidad, que el $P=x_1$. Considere entonces el divisor
$$D_{(n,0,\ldots,0)}$$
Tenga en cuenta que si tomamos $n\gg 2g$ $\mathcal{O}(D_n)$ a nivel mundial es generado (ver, por ejemplo, 19.2.11 aquí). Por lo tanto, vamos a $f\in\mathcal{O}(D_{(n,0,\ldots,0)})(X)$ ser distinto de cero. Entonces, por definición
$$\mathrm{div}(f)+nP\geqslant 0$$
Esta dice que el $f$ sólo tiene un polo en $P$, así que por supuesto, también en $O_S$. Tomando $n$ suficientemente grande también garantías (por Riemann-Roch) que el global de las secciones de $\mathcal{O}(D_{(n,0,\ldots,0)})$ tendrá arbitrariamente grandes dimensiones. Por lo tanto, podemos asumir que $f$ no es constante, lo que implica que no sólo es su único polo en $P$, pero que tiene un polo en $P$.
Comentario: supongo que este ejercicio es para que usted pueda mostrar que $X-\{P\}$ es afín?
