Identidad para series de potencias y coeficientes binomiales

Question

Esta pregunta se refiere a una identidad combinatoria que obedecen los coeficientes de series de potencias. Dejamos que $[x^{M}]\{\phi(x)\}$ denotan el coeficiente de $x^{M}$ en una serie de potencias $\phi(x)$ .

Sea $k$ sea un número entero positivo, y consideremos la función $F(k,x)$ definida como la siguiente serie de potencias en $x$ :

\begin{equation} F(k,x)=\sum_{s=1}^{\infty} \frac{(-1)^{s-1}}{s^{2}}\binom{s \ k}{s+1}(s+1)\ x^{s}. \end{equation}

Me interesan los coeficientes de la serie de la función $\exp(N F (k,x))$ para un número entero positivo $N.$

A través de la comparación de varias fórmulas surgidas en un proyecto de investigación, he llegado a la siguiente identidad para el caso $N=M+1$ :

\begin{equation} [x^{M}]\{e^{(M+1)F(k,x)}\}= \frac{k(M+1)}{k+(k-1)M}\binom{(k-1)^{2}M+k(k-1)}{M}~. \end{equation}

Aunque estoy convencido de que esta identidad es cierta, no tengo ni idea de cómo demostrarlo, ni de por qué este coeficiente de la serie de potencias tiene una expresión tan sencilla. Así pues, mi pregunta principal es ¿cómo se puede motivar y demostrar esta identidad?

En términos más generales, ¿podemos determinar el coeficiente $[x^{M}]\{e^{N F(k,x)}\}?$

También me interesa una generalización que depende de un entero positivo adicional $j$ . En concreto, establece
\begin{equation} F(k,j,x)=\sum_{s=1}^{\infty} \frac{(-1)^{s-1}}{s^{2}}\binom{s \ k}{s\ j+1}(s\ j+1)\ x^{s}~. \end{equation} La función anterior se recupera para el caso especial $j=1.$

¿Pueden los coeficientes $[x^{M}]\{e^{NF(k,j,x)}\}$ determinarse de forma similar?

Answer 1

Parece que una fórmula general para el $x^M$ coeficiente de $\exp NF(k,x)$ es $$ \frac{N}{M} (k^2-k) \left( {(k^2-k) N - (k-1) M - 1 \atop M-1} \right), $$ lo que concuerda con su fórmula cuando $N=M+1$ . Esto debería derivarse de una fórmula explícita para $dF(k,x)/dx$ como un grado- $k$ función algebraica de $x$ que está estrechamente relacionada con la función inversa de $y(1-y)^{k-1}$ para lo cual existe una expansión en serie de potencias de forma cerrada de $y^\beta$ para todos $\beta$ ; véase, por ejemplo estos dos "documentos de una página" en mi página web de matemáticas .

Answer 2

Para ampliar la respuesta de Noam, $$F(k, y(y+1)^{k-1}) = k(k-1)\log(1+y),$$ como puede demostrarse mediante la inversión de Lagrange o de otras formas, como en los trabajos de Noam. Por tanto, si $G(k, x) = e^{F(k,x)}$ entonces $$G(k, y(y+1)^{k-1})=(1+y)^{k(k-1)}.$$

Answer 3

Sea $\mathscr{B}_t(z)$ ser un binomio generalizado serie $$\mathscr{B}_t(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}{tk+1\choose k} \dfrac{1}{tk+1}z^k.$$ La respuesta se deduce de estas dos fórmulas \begin{gather} \tag{1}\mathscr{B}_t^r(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}{tk+r\choose k} \dfrac{r}{tk+r}z^k,\\ \tag{2}\log\mathscr{B}_t(z)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{t k\choose k}\frac{z^k}{tk} \end{gather} porque $$F(k,x)=k(1-k)\log\mathscr{B}_k(-x)=k(k-1)\log\mathscr{B}_{1-k}(x).$$

Encontrará (1) (y otras fórmulas) en (véase el capítulo 5.4) Graham, R. L.; Knuth, D. E. & Patashnik, O. Concrete mathematics. Addison-Wesley Publishing Company, 1994.

La fórmula (2) se deduce de los cálculos realizados en Bizley, M. Derivación de una nueva fórmula para el número de caminos reticulares mínimos a partir de $(0,0)$ a $(k m, k n)$ habiendo $t$ contactos con la línea $m y = n x$ y que no tiene puntos por encima de esta línea; y una demostración de la fórmula de Grossman fórmula de Grossman para el número de caminos que pueden tocar pero no por encima de esta línea. J. Inst. Actuaries 80, 55-62 (1954).

La prueba de (1) (véase Matemáticas concretas ) también se basa en la combinatoria de caminos. Probablemente puede dar algunos consejos para $j>1$ .

Ver también 20ª conferencia anual de Donald Knuth sobre los árboles de Navidad: (3/2)-Árboles de Navidad para conexiones adicionales y para la historia de (2).

Apliqué estas fórmulas en la teoría de grupos formales. Puede darnos algunos antecedentes sobre su pregunta?