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hallar la pendiente de la recta tangente

Lo siento, no he podido averiguar cómo utilizar el editor en este momento y realmente necesito ayuda con esta pregunta. Deja que $f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ . hallar la pendiente de la recta tangente en $(8,\frac{1}{2})$ Hasta ahora esto es lo que tengo solo que no se que hacer a partir de aquí

$$ \begin{array}{lll} m&=&\lim_{h \to 0}\frac{f(8+h)-f(8)}{h}\\ &=&\lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt[3]{8+h}}-1/2}h \\ &=&\lim_{h \to 0} \ 2-\frac{\sqrt[3]{8+h}}{2\sqrt[3]{8+h}}\\ &=&\lim_{h \to 0} \frac{2-\sqrt[3]{8+h}}{2h\sqrt[3]{8+h}}\\ \end{array} $$

¿Puede alguien ayudarme, por favor?

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Rustyn Puntos 5774

Desde donde estás, haz este truco: \begin{align*} &\lim_{h \to 0} \frac{2-\sqrt[3]{8+h}}{2h\sqrt[3]{8+h}}=\lim_{h \to 0} \frac{\left(2-\sqrt[3]{8+h}\right)}{2h\sqrt[3]{8+h}}\frac{\left((8+h)^{2/3} +2(8+h)^{1/3} + 4)\right)}{\left((8+h)^{2/3} +2(8+h)^{1/3} + 4)\right)}=\\ &\lim_{h\to 0}\frac{-h}{2h(8+h)^{1/3}\left((8+h)^{2/3} +2(8+h)^{1/3} + 4)\right)}= \\ &\lim_{h\to 0} -\frac{1}{2(8)^{1/3}(8^{2/3}+2\cdot8^{1/3}+4)}=-\frac{1}{48} \end{align*} He aquí una prueba límite equivalente. \begin{align*} &f'(8)=\lim_{x\to 8}\frac{f(x)-f(8)}{x-8} = \lim_{x\to 8}\frac{\frac{1}{x^{1/3}}-\frac{1}{2}}{(x^{1/3}-2)(x^{2/3}+2x^{\frac{1}{3}}+4)}= \\ &\lim_{x\to 8} \frac{\frac{2-x^{1/3}}{2x^{1/3}}}{(x^{1/3}-2)(x^{2/3}+2x^{1/3}+4)}=-\frac{1}{2}\lim_{x\to 8}\frac{1}{x^{1/3}(x^{2/3}+2x^{1/3}+4)}=\\ &-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2(4+4+4)}\right)=-\frac{1}{48} \end{align*}

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