Centro de masa de un arco circular

Question

Tengo un alambre infinitesimalmente delgado en forma de arco circular, con distribución uniforme de la masa. Me gustaría saber la ubicación del centro de masa del alambre.

El arco subtiende un ángulo de 120° (un tercio de una circunferencia completa), y el radio es 3.

Por la simetría, sé que el centro de masa está entre el centro del círculo, y el punto medio del arco circular, pero no sé cómo calcular la distancia del centro del círculo al centro de masa.

Me interesan los aspectos geométricos del problema, no tanto los físicos.

Answer 1

Permítanme mostrarles la forma más general de encontrar la respuesta.

Para una curva (o un alambre infinitesimalmente fino con densidad uniforme, es decir, distribución lineal uniforme de la masa), el centro de masa está en el centroide de la curva.

En el caso general 2D, el centroide de una curva paramétrica $\vec{s}(t) = \left ( x(t) , y(t) \right )$ , $t_0 \le t \le t_1$ está en $( \hat{x} , \hat{y} )$ , $$\begin{cases} \hat{x} = \frac{1}{L} \displaystyle \int_{t_0}^{t_1} x(t) \, \delta(t) \, dt \\ \hat{y} = \frac{1}{L} \displaystyle \int_{t_0}^{t_1} y(t) \, \delta(t) \, dt \end{cases} \tag{1}\label{NA1}$$ donde $\delta(t) \, dt$ es el parámetro de longitud de arco en $t$ , $$\delta(t) \, dt = \sqrt{ \left( \frac{ d\, x(t) }{ d t } \right )^2 + \left( \frac{ d\, y(t) }{ d\, t} \right) ^2 } \, dt$$ y $L$ es la longitud total de la curva, $$L = \int_{t_0}^{t_1} \delta(t) \, dt$$

En este caso concreto, tenemos un arco circular, $$\begin{cases} x(\theta) = r \cos(\theta) \\ y(\theta) = r \sin(\theta) \end{cases}$$ y por lo tanto $$\delta(\theta) \, d\theta = \sqrt{ \left(-r \sin(\theta)\right)^2 + \left(r \cos(\theta)\right)^2 } \, d\theta = \sqrt{ r^2 \left( (\sin\theta)^2 + (\cos\theta)^2 \right) } \, d\theta = \sqrt{ r^2 } \, d\theta = r \, d\theta$$ El arco se alarga un tercio de un círculo completo, es decir, 120°. Si situamos el centro de la circunferencia en el origen y el punto medio del arco en el positivo $y$ eje, entonces $\theta$ oscila entre $90°-120°/2 = 30°$ a $90°+120°/2 = 150°$ es decir, de $\theta = \pi/6$ radianes a $\theta = 5 \pi/6$ radianes.

La longitud $L$ del arco de círculo que ya conocemos por geometría; es un tercio del perímetro del círculo de radio $r$ , $$L = \frac{2 \pi r}{3}$$

Sustituyendo estos valores por $\eqref{NA1}$ obtenemos $$\begin{cases} \hat{x} = \frac{3}{2 \pi r} \displaystyle\int_{\pi/6}^{5\pi/6} r \cos(\theta) \, r \, d\theta \\ \hat{y} = \frac{3}{2 \pi r} \displaystyle\int_{\pi/6}^{5\pi/6} r \sin(\theta) \, r \, d\theta \end{cases}$$ que se simplifican en $$\begin{cases} \hat{x} = \frac{3 r}{2 \pi} \displaystyle\int_{\pi/6}^{5\pi/6} \cos(\theta) \, d\theta = \frac{3 r}{2 \pi} \left(\Bigl[-\sin\theta \Bigr]_{\pi/6}^{5\pi/6} \right) \\ \hat{y} = \frac{3 r}{2 \pi} \displaystyle\int_{\pi/6}^{5\pi/6} \sin(\theta) \, d\theta = \frac{3 r}{2 \pi} \left(\Bigl[\cos\theta \Bigr]_{\pi/6}^{5\pi/6} \right) \end{cases}$$ Porque $-\sin(\pi/6) - -sin(5\pi/6) = 0$ , $\hat{x} = 0$ . Lo cual es completamente esperable, porque hemos dispuesto el arco para que sea simétrico alrededor del $y$ eje. Porque $\cos(\pi / 6) - \cos(5\pi / 6) = \sqrt{3}/2 - -\sqrt{3}/2 = \sqrt{3}$ , $$\hat{y} = \frac{3 r}{2 \pi} \sqrt{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \pi} r$$

En el caso de $r = 3$ , $$\hat{y} = \frac{9 \sqrt{3}}{2 \pi} \approx 2.48$$

Esto concuerda perfectamente con La respuesta del Rey Tut .

Answer 2

La fórmula general de la distancia del arco com al centro del círculo generador es $ \frac{\sin(\theta /2)}{\theta/2}R$ donde $\theta$ es el ángulo que el arco subtiende en el centro del círculo. Este resultado se demuestra mediante integración.

Usando esto se obtiene la respuesta como $ \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}R$

Answer 3

Te mostraré la forma más sencilla de calcular el centroide de una línea de masa uniforme. Esto se puede expresar más fácilmente en el plano complejo de la siguiente manera,

$$C=\frac{\int z~ds}{\int ds}=\frac{1}{L} \int z~ds=\frac{\int z~|\dot z|~d\theta}{\int |\dot z|~d\theta}$$

donde $C$ es el centroide complejo, $L$ es la longitud del arco, $\dot z$ es la derivada de $z$ en relación con $\theta$ . Para un arco circular de radio r tenemos entonces

$$ z=re^{i\theta}\\ \dot z=ire^{i\theta}\\ |\dot z|=r $$

entonces

$$ \begin{align} C &=\frac{r^2\int_{\theta1}^{\theta2}e^{i\theta}~d\theta}{r\int_{\theta1}^{\theta2}~d\theta}\\ &=r\frac{-i\left(e^{i\theta_2}-e^{i\theta_1} \right)}{\theta_2-\theta_1} \end{align} $$

Especializados en su caso, con $\theta\in[0,2\pi/3]$ encontramos

$$C=r\frac{\sqrt{3}/2+i\cdot 3/2}{2\pi/3}$$

y, la distancia radial al centroide viene dada por

$$|C|=r\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$$

como usted ya sabe. En cuanto a que esto no esté en la curva, por supuesto que no puede estarlo. Imagina que la curva está en un plano sin masa. ¿Dónde se suspendería el plano de una cuerda para que no se inclinara?

Answer 4

Esto es lo que he intentado, suponiendo que la distribución de la masa a lo largo de la longitud del arco es uniforme.

$$\lambda=\frac{dm}{ds}=\frac{M}{L}$$ $$s=r\theta$$

Coloca tu arco de forma que sea simétrico respecto al $y$ -y centrado en el origen. Fijar el centro de masa en $(h,k)$ .

Debido a la simetría respecto al $y$ -Eje, $h=0$ .

El ángulo que subtiende el arco es $2\pi/3$ así que integrémonos $[\pi/2-\pi/3,\pi/2+\pi/3]$ que es igual a $[\pi/6,5\pi/6]$ .

Por definición de centro de masa,

$$\begin{align} k &= \frac1M \int y\,dm \\ &= \frac1M \int r\sin(\theta)\, \lambda\,ds \\ &= \frac1M \int r\sin(\theta)\, \lambda r\,d\theta \\ &= \frac{r^2}M \int \lambda\sin(\theta)\,d\theta \\ &= \frac{r^2}{M}\bigl( -\lambda\cos\theta\bigr)\Bigr|^{5\pi/6}_{\pi/6}\\ &= \frac{r^2\lambda}{M}\left[ -\cos\left(\frac{5\pi}6\right) + \cos\left(\frac\pi6\right)\right] \\ &= \frac{r^2\lambda}{M} \left( +\frac{\sqrt3}2 + \frac{\sqrt3}2\right)\\ &= \frac{r^2\lambda\sqrt 3}M=\frac{r^2M\sqrt 3}{LM} = \frac{r^2\sqrt3}{2\pi r/3}\\ &= \frac{3r\sqrt3}{2\pi}\\ &= \frac{9\sqrt3}{2\pi} \end{align}$$

donde $M$ es la masa de la sección de arco en cuestión.

Muchas gracias a David K por detectar el error que había mencionado antes.