Mostrar que $X_1+X_2$ Y $X_1-X_2$ Son independientes si $X_1$ Y $X_2$ Ser Distribución Normal Estándar

Question

$X_1$ y $X_2$ , $...$ sean variables que tienen distribución normal estándar , ¿Cómo podemos demostrar la $X_1+X_2$ Y $X_1-X_2$ ¿Son independientes?

Answer 1

Desde $A=X_1+X_2, B=X_1-X_2$ son transformaciones lineales de RVs normales conjuntas, sólo tendrás que mostrar $\operatorname{cov}(X_1+X_2,X_1-X_2)=0$ para demostrar su independencia.

Answer 2

Consideremos que si dos variables aleatorias $X$ y $Y$ son independientes, entonces $E[XY]=E[X]E[Y]$ . Ahora bien, si $X$ y $Y$ son conjuntamente normales también es cierta la inversa.

Si $X_1$ y $X_2$ son conjuntamente normales también lo son su suma y su diferencia. Por lo tanto, compruebe que $E[(X_1+X_2)(X_1-X_2)]-E[X_1+X_2]E[X_1-X_2]$ = 0.

Answer 3

Desde $$\left(\begin{matrix}X_1\\X_2\end{matrix}\right)\sim\mathcal N_2\left(\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right),\mathbf I_2\right)$$ donde $\mathbf I_2$ denota la matriz identidad \begin{align*}\left(\begin{matrix}X_1+X_2\\X_1-X_2\end{matrix}\right)&= \left(\begin{matrix}1 &1\\1 &-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X_1\\X_2\end{matrix} \derecha) N_2\left(\left( \begin{matrix}1 &1\\1 &-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix} \derecha), \left( \begin{matrix}1 &1\\1 &-1\end{matrix} \derecha)\mathbf I_2 \izquierda( \begin{matrix}1 &1\\1 &-1\end{matrix} \right)\right) \end{align*} y $$\left(\begin{matrix}1 &1\\1 &-1\end{matrix}\right)\mathbf I_2 \left(\begin{matrix}1 &1\\1 &-1\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}2 &0\\0 &2\end{matrix}\right)$$ muestra la ausencia de correlación.