Límite de $\;\lim\limits_{n\to\infty}[\frac{(\ln(2^{1/n})-\ln(n^2)}{1+1/2+1/3+...+1/n})]$

Question

Como dice el título, la tarea consiste en encontrar el límite: $\\$

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln2^{1/n}-\ln n^2}{1+1/2+1/3+...+1/n})$$

$\\$ Supongo que debería intentar alcanzar de algún modo la forma de $\lim_{n\to0}\frac{\ln(1+n)}{n}$ o utilizar el teorema de Cesaro-Stolz, pero mis dos intentos no me han dado la respuesta correcta. Agradecería cualquier tipo de pista. Además, no puedo usar la regla de L'hospital, ni ningún tipo de derivación.

Gracias de antemano.

EDIT: Yo tampoco voy a utilizar integrales.

Answer 1

Utilice algunas reglas de registro rápido para ver que

$$\ln(2^{1/n})-\ln(n^2)=\frac1n\ln(2)-2\ln(n)$$

Tenga en cuenta también que

$$\ln(n)=\int_1^n\frac1x\ dx\le\sum_{k=1}^n\frac1k\le1+\int_1^n\frac1x\ dx=1+\ln(n)$$

Así,

$$\frac{\frac1n\ln(2)-2\ln(n)}{\ln(n)}\le\frac{\ln(2^{1/n})-\ln(n^2)}{\sum_{k=1}^n\frac1k}\le\frac{\frac1n\ln(2)-2\ln(n)}{1+\ln(n)}$$

Y aplicar el teorema del apretón (dividir todas las fracciones por $\ln(n)$ si aún necesitas ayuda)

Answer 2

Es fácil ver que la primera fracción limita a cero, es simplemente $$\frac{\ln 2}{nH_n}.$$ Así pues, el problema se reduce a demostrar que $$\frac{\ln n}{H_n}\to 1$$ Esto es bien conocido o se deduce del teorema de Stolz, ya que $$(n+1)\ln (1+\frac{1}{n})\to 1$$