Mostrar que una serie central inferior es una serie central

Question

Tengo la siguiente definición para una serie central de un grupo:

Un grupo $G$ tiene una serie central si existe una serie normal, $$ G=A_0\triangleright A_1 \triangleright A_2 \triangleright\dots \triangleright A_m=\{e\},$$ con cada $A_i$ normal en $G$ tal que $A_{i-1}/A_i$ está en el centro de $G/A_i$ .

Una serie central inferior para $G$ se define como:

la secuencia de subgrupos normales de $G$ definido por $G^0 = G$ , $G^i=(G^{i-1},G)$ , $$ G^0\triangleright G^1 \triangleright \dots \triangleright G^i \dots . $$

Aquí si $H$ et $K$ son dos subgrupos normales de $G$ definimos $(H,K)$ sea el subgrupo $\langle hkh^{-1}k^{-1} | h\in H, k\in K \rangle$ . Tenga en cuenta que $(H,K)\triangleleft G$ .

Me gustaría demostrar que si $G$ tiene una serie central inferior tal que para algún $k$ , $G_k=\{e\}$ entonces la serie central inferior es de hecho una serie central.

No es necesario comprobar que el $G^i$ son todos normales en G. Lo que me cuesta demostrar es que $G^{i-1}/G^i$ está contenido en el centro de $G/G^i$ . Hasta ahora todo lo que he podido demostrar es que porque $(G^{i-1},G^{i-1})\leq G^{i}$ tenemos que $G^{i-1}/G^i$ es abeliano.

No sé si este es el mejor enfoque para mostrar lo que quiero. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Consideremos dos términos consecutivos de la serie central inferior: $$G^i \geq G^{i+1}=(G^i,G).$$ Mostramos el factor $G^i/G^{i+1}$ es central; pero ¿dónde? Puesto que estamos buscando este factor como algún subgrupo "modulo $G^{i+1}$ deberíamos ver "en $G/G^{i+1}$ " si el factor anterior es central. Muy simple:

Considere cualquier $gG^{i+1}$ en $G/G^{i+1}$ y cualquier $xG^{i+1}$ en $G^i/G^{i+1}$ . ¿Qué significa esto? Simplemente que $g\in G$ es cualquier elemento y $x\in G^i$ es cualquier elemento. Entonces sabemos que $[g,x]$ es un elemento de $G^{i+1}$ . A continuación, escribe esto de forma ligeramente diferente:

$$[g,x]\in G^{i+1} \Leftrightarrow (gxg^{-1}x^{-1}) G^{i+1}=G^{i+1} \Leftrightarrow (gG^{i+1})(xG^{i+1})=(xG^{i+1})(gG^{i+1})$$ Así, cada $xG^{i+1}$ conmuta con cada $gG^{i+1}$ . ¿Entonces? .......