Hallar el límite de secuencias $x_n$ , $y_n$ si $x_1=a>0$ , $y_1=b>0$ , $x_{n+1}=\dfrac{x_n+y_n}{2}$ et $y_{n+1}=\sqrt{x_ny_n}$

Question

Sea $(x_n)$ et $(y_n)$ sean dos secuencias denotadas recursivamente como sigue: $$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = a > 0\\ {y_1} = b > 0\\ {x_{n + 1}} = \dfrac{{{x_n} + {y_n}}}{2}\\ {y_{n + 1}} = \sqrt {{x_n}{y_n}} \end{array} \right.$$ Encuentre $\lim x_n$ et $\lim y_n$ .

No es tan difícil mejorar eso $\lim x_n=\lim y_n$ pero sigo sin encontrar el límite de $(x_n)$ et $(y_n)$ .

¿Tienes alguna idea? Por favor, ayúdenme. Muchas gracias.

Answer 1

Sea $a \le b$ et $k=b/a$ entonces el límite que buscamos será $L(a,b)=a\ f(k)$ donde $f(k)=L(1,k)$ (no es difícil de demostrar, pruébelo usted mismo)

Examinemos la función f(x). $f(1)=1, f'(1)=1/2$ ya que f(x) está entre $\sqrt{x}$ et $\frac{x+1}2$

También (S): $f(x)=\sqrt xf(\frac{x+1}{2\sqrt x})$ desde $L(x_1,y_1)=L(x_2,y_2)$

Digamos $x=(1+d)^2$ y escribir f en la serie de Taylor $f(1+x)=f(1)+f'(1)x/1!+f''(1)x^2/2!+...$

$$(S):f(1+2d+d^2)=(1+d)f(1+\frac{d^2}{2(1+d)})$$ $$f(1)+f'(1)(2d+d^2)/1!+f''(1)(2d+d^2)^2/2!+...=(1+d)(f(1)+f'(1)(\frac{d^2}{2(1+d)})/1!+f''(1)(\frac{d^2}{2(1+d)})^2/2!+...)$$ Cuando limpias un poco este lío sustituyendo f y f' $$d^2/4+\sum_{k=2}^∞ f^{(k)}(1)(2d+d^2)^k/k!=\sum_{k=2}^∞ f^{(k)}(1)\frac{d^{2k}}{2^k(1+d)^{k-1}}/k!$$ Vale, ¿y ahora qué? $f^{(k)}$ trabajar para cualquier d, pero no se puede matar a los dos $d^2$ et $d^3$ (como intenté) así que cuando $d->0$ la ecuación no funcionará...

Por tanto, no se trata de una función analítica.