cuál es el número máximo de puntos racionales de una curva de género 2 sobre los racionales

Question

Conjeturalmente, existe un número entero $n$ tal que el número de puntos racionales de un género $2$ curva sobre $\mathbf{Q}$ es como máximo $n$ . (Esto se deduce de la conjetura Bombieri-Lang).

Estamos muy lejos de demostrar la existencia de tal número entero, por no hablar de encontrar un valor explícito que funcione.

Mi pregunta es:

¿Cuál es el límite inferior más conocido para $n$ ?

Una forma de obtener un límite inferior $m$ para $n$ es demostrar la existencia de una curva de género $2$ en $\mathbf{Q}$ con al menos $m$ puntos racionales.

Answer 1

Creo que es 642. Ver http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/recordcurve.html

Answer 2

Aquí tiene más información.

1. La curva que establece el récord actual se obtiene a partir de un K3 superficie $S$ que fue encontrado por Noam Elkies. $S$ es una cubierta doble de ${\mathbb P}^2$ ramificado sobre un sextil liso $B$ que tiene un montón de líneas tritangentes y también curvas de grado superior que se encuentran con ella con multiplicidad de intersección paritaria. multiplicidad de intersección en todos los puntos. Retrotrayendo cualquier recta racional $L$ en ${\mathbb P}^2$ a $S$ que no sea tangente a $B$ da una curva de género 2 $C$ en la que todas las tritangentes inducen pares de puntos racionales, y lo mismo es cierto para el grado superior cuando se cruzan $L$ en puntos racionales. Por supuesto, puede haber puntos racionales adicionales en $C$ que no surgen de esta manera. Encontré la curva récord mediante una búsqueda sistemática a través de líneas racionales de altura relativamente pequeña. El récord anterior era de 588 puntos, debido a Keller y Kulesz. Su curva tiene una forma especial y 12 automorfismos definidos sobre $\mathbb Q$ ; los 588 puntos vienen en 49 órbitas. Por el contrario, la nueva curva récord tiene un grupo de automorfismos mínimo (sólo la involución hiperelíptica hiperelíptica).

2. El resultado de Caporaso, Harris y Mazur necesita la conjetura débil de Lang para variedades de dimensión arbitrariamente grande. (He visto a Bombieri protestar contra el nombre de "Conjetura de Bombieri-Lang", diciendo que él sólo hizo la conjetura para superficies). No sabemos esencialmente nada en este de Faltings sobre las subvariedades de las variedades abelianas (o puede variedades abelianas (o que puede deducirse de él).

3. Lo que quizá sea más convincente es la conjetura de que debería haber un límite en términos del género $g$ y el rango $r$ para el número de puntos (geométricos) en un género $g$ curva $C$ en un rango $r$ subgrupo de su jacobiano (bajo alguna incrustación dada por un punto base en $C$ ). Esto se deduce de la conjetura de Zilber-Pink para familias de variedades abelianas. Por supuesto Por supuesto, esto implica un límite para el número de puntos racionales en una curva de género 2 en función del rango de Mordell-Weil de su jacobiano. Si estos rangos están Si estos rangos están acotados, cabe esperar que el número de puntos racionales también lo esté. Pero ésta es otra cuestión abierta. Quizá los datos de este documento podría ser interesante.

4. Tales límites existen (e incluso son explícitos) cuando el rango $r$ es suficientemente pequeño en comparación con $g$ concretamente para $r \le g-3$ (que lamentablemente no nos dice nada sobre el caso $g = 2$ ). Véase este et este papel. Para curvas hiperelípticas, el límite puede puede ser $33(g-1) + 8rg \pm 1$ ( $+$ cuando $r = 0$ , $-$ en caso contrario).

Answer 3

Tal y como está formulada la pregunta, la respuesta es ilimitada, ya que los puntos singulares racionales pueden ser ilimitados.

Por naturaleza $n$ define $j(n)=\prod_{i=1}^n(x-i)$ .

Considere la curva $C_n : j(n)^2(x^5+13)=y^2$ .

Es biracionalmente equivalente a $x'^5+13=y'^2$ que es el género $2$ , así que $C_n$ es el género $2$ .

$C_n$ tiene los puntos racionales (singulares) $(1,0),(2,0),\ldots(n,0)$ que son ilimitadas, ya que $n$ no tiene límites.