Comprender a los grupos que no son lineales

Question

Me cuesta mucho "sentir" lo que significa que un grupo no sea lineal. Vagamente, me gustaría saber cómo se debe pensar en tales grupos. Más concretamente:

¿Cuáles son algunos ejemplos interesantes de grupos que no son lineales?

¿Existen construcciones generales que se puedan utilizar para cocinar un grupo o una familia de grupos que no sea lineal?

¿Existen técnicas generales que permitan demostrar que un grupo determinado no es lineal?

En términos más generales, ¿qué tienen estos grupos que los hace interesantes?

Answer 1

Permítanme darles dos ejemplos de la teoría de pro- $p$ grupos:

1. El grupo de Nottingham contiene cada $p$ -grupo. Por lo tanto, no es lineal sobre ningún campo.

2. Zubkov demostró que un pro- no abeliano libre $p$ grupos no pueden incrustarse en $SL_2(R)$ donde $R$ es cualquier pro- $p$ anillo. Esto implica que cualquier pro $p$ subgrupo de $SL_2(R)$ satisface un pro- $p$ identidad. Lubotzky y Shalev conjeturaron que esto es cierto para $SL_n(R)$ para cualquier $n$ y cualquier pro- $p$ anillo $R$ . Micheal Larsen y yo demostramos que un pro- $p$ no es lineal sobre campos locales. Nuestra demostración fue una aplicación bastante sencilla del trabajo de Richard Pink, que nos permitió reducir la cuestión a demostrar que un subgrupo abierto de un grupo semisimple sobre campos locales no es libre. Creo que entonces utilizamos algún resultado de Lubotzky, pero estoy seguro de que hay muchos argumentos para tratar ese caso. Permítanme subrayar que nuestro resultado no implica la existencia de un pro- $p$ identidad (para eso hay que ocuparse de todos los pro- $p$ anillos). Sin embargo, Zelmanov afirma en un trabajo inédito que pro- $p$ existe si fijamos $n$ y que $p$ ser lo suficientemente grande. Además, nótese que esto no implica no linealidad en general.

Answer 2

Si $A$ es cualquier variedad abeliana, es decir, una variedad algebraica propia que también es un grupo algebraico, entonces no es un grupo algebraico lineal, porque cualquier mapa $A \to \operatorname{GL}_n$ es un mapa de $A$ a una variedad afín y por tanto es constante (por tanto no fiel). Esto no responde a su pregunta, ya que $A$ no es un grupo único, aunque significa que el grupo en conjuntos $\newcommand\C{\mathbb{C}}A(\C)$ (o el campo algebraicamente cerrado apropiado de característica positiva) no es lineal. Sin embargo, curiosamente, es no el caso de que esto dé toda una familia de grupos no lineales, ya que por ejemplo si $A$ se define sobre $\newcommand\Z{\mathbb{Z}}\Z$ entonces $\newcommand\F{\mathbb{F}}A(\F_q)$ es un grupo abeliano finito para cualquier potencia prima $q$ y, fácilmente, es lineal, aunque sus representaciones fieles no se combinarán en una representación fiel de $A(\bar{\F}_q)$ .