Comprender a los grupos que no son lineales

Question

Me cuesta mucho "sentir" lo que significa que un grupo no sea lineal. Vagamente, me gustaría saber cómo se debe pensar en tales grupos. Más concretamente:

¿Cuáles son algunos ejemplos interesantes de grupos que no son lineales?

¿Existen construcciones generales que se puedan utilizar para cocinar un grupo o una familia de grupos que no sea lineal?

¿Existen técnicas generales que permitan demostrar que un grupo determinado no es lineal?

En términos más generales, ¿qué tienen estos grupos que los hace interesantes?

Answer 1

Consideremos la clase de grupos lineales finitamente generados. Tales grupos $G$ satisfacer ciertas restricciones bien conocidas, por ejemplo:

1. Cada uno de estos $G$ es residualmente finita (Malcev, 1940). Así, la mayoría de los grupos Baumslag-Solitar, por ejemplo $$ \langle a, b| a b^2 a^{-1} =b^3\rangle $$ no son lineales. Este es el ejemplo más simple de un grupo f.g. no lineal que conozco.

2. $G$ es virtualmente libre de torsión (Selberg, 1960). En particular, si $G$ es torsión entonces es finito (lo que ya sabía Burnside). Obsérvese que existen grupos finitos residuales de torsión infinita (los primeros ejemplos se deben a Golod y Shafarevich); tales grupos tienen que ser no lineales.

3. $G$ satisface la alternativa de Tits (Tits, 1972): O bien $G$ contiene un subgrupo libre no abeliano o contiene un subgrupo soluble de índice finito. (Así, por ejemplo, el grupo de Thompson no es lineal).

Los mosters Tarski violarán todas las restricciones anteriores.

Hay restricciones más sutiles, por ejemplo, $Aut(F_n), n\ge 3$ no es lineal (Formanek y Procesi, 1992).

Considere la posibilidad de leer el libro de Wehrfritz "Infinite linear groups" o este encuesta para tener una mejor idea de lo que significa la linealidad para los grupos f.g., especialmente, el criterio de linealidad de Lubotzky.

En cuanto a su pregunta de por qué son interesantes los grupos no lineales: Muchos de ellos se dan de forma natural (como $Aut(F_n)$ ), el resto empuja los límites de nuestra comprensión de la clase de grupos f.g. Para muchos grupos "naturales", la linealidad es desconocida, por ejemplo, el grupo de clases de mapeo $Mod_g$ , $g\ge 3$ .

Answer 2

A continuación se desarrolla el último párrafo de la respuesta de Misha.

Para mí, lo que hace interesantes a los grupos no lineales (discretos) es que no somos muy buenos construyéndolos. La linealidad sigue siendo desconocida para muchos ejemplos naturales de grupos, como los grupos de clases cartográficas, y si fuera cierta simplificaría drásticamente algunos teoremas difíciles. (Por ejemplo, Daniel Groves tiene una prueba muy larga y difícil de que los grupos de clases cartográficas son "ecuacionalmente noetherianos"; si son lineales, entonces es una consecuencia fácil del Teorema de la Base de Hilbert).

Del mismo modo, sólo conocemos una forma de construir grupos hiperbólicos de palabras no lineales (de hecho, Misha se dio cuenta de ello): tomar una red uniforme $\Gamma$ en Sp(n,1), que es a la vez palabra-hiperbólica y satisface la superrigidez de Margulis, y mata un elemento "aleatorio"; el cociente resultante $Q$ es un cociente infinito de $\Gamma$ con núcleo infinito, por lo que, según Margulis, la superrigidez no puede ser lineal (al menos en la característica cero; no estoy seguro de la característica $p$ ).

El hecho de que no conozcamos otros métodos para construir grupos no lineales está relacionado con el hecho de que no sabemos cómo construir un grupo hiperbólico de palabras no finito.

Sorprendentes desarrollos recientes explican en parte este fracaso al demostrar que los grupos lineales (y, por tanto, residualmente finitos) son mucho más comunes de lo que pensábamos. Creo que la mayoría de los expertos habrían supuesto que un grupo "aleatorio" finitamente presentado (que se sabe que es hiperbólico en palabras) no sería lineal; de hecho, de los trabajos recientes de Agol y de otros más antiguos de Wise se deduce que algunas partes del "espectro" de los grupos aleatorios son, de hecho, lineales. Son tiempos apasionantes.

Answer 3

La cobertura universal $G^*$ del grupo $SL_2({\mathbb R})$ no es lineal. La razón es que cualquier representación lineal de $G^*$ viene dada por una representación del álgebra de Lie, que desciende a una representación de $SL_2({\mathbb R})$ . La razón esencial es que $SL_2({\mathbb C})$ está simplemente conectada.

En términos más generales, si $G$ es un grupo algebraico simple definido sobre ${\mathbb R}$ tal que $G({\mathbb C})$ es simplemente conexo, y si $G({\mathbb R})$ no es simplemente conexo, entonces la cubierta universal de $G({\mathbb R})$ no es lineal.

Answer 4

Si se tiene un grupo lineal finitamente generado cuyo crecimiento es subexponencial, entonces por Tits (mencionado anteriormente) el grupo tiene que ser virtualmente soluble y por un teorema de Milnor el grupo tiene crecimiento polinómico. Por lo tanto, cualquier grupo generado finitamente cuyo crecimiento sea subexponencial y no polinómico (el llamado crecimiento intermedio) no es lineal. Hay muchos ejemplos de grupos con crecimiento intermedio.

Answer 5

No está claro si trabaja en el marco de la teoría de Lie, de la teoría abstracta de grupos o de otra cosa. Esta respuesta se refiere a la teoría de Lie.

Vamos a centrarnos en los grupos de Lie cuya álgebra de Lie es semisimple (ya que los radicales solubles estropean las cosas de demasiadas maneras, como de costumbre). Por teoremas serios, el funtor $\mathbf{G} \rightsquigarrow \mathbf{G}(\mathbf{C})$ de semisimple conectado $\mathbf{C}$ -grupos a conectar complejos con álgebra de Lie semisimple es una equivalencia de categorías. Así pues, todos los grupos de Lie complejos conexos con álgebra de Lie semisimple admiten una única y estructura "algebraica lineal" functorial.

Digamos que un grupo Lie conexo $G$ con álgebra de Lie semisimple es lineal si $G = \mathbf{G}(\mathbf{R})^0$ para un semisimple conexo $\mathbf{R}$ -grupo $\mathbf{G}$ . Desde el punto de vista de la teoría de Lie "semisimple", el fallo de esta condición es un poco difícil de pensar porque no isomorfo semisimples conectados $\mathbf{R}$ -grupos pueden dar lugar a grupos Lie conexos isomorfos de $\mathbf{R}$ -puntos, siendo el más famoso el grado-. $n$ isogenia ${\rm{SL}}_n \rightarrow {\rm{PGL}}_n$ en $\mathbf{R}$ con un impar $n > 1$ (esto se convierte en un isomorfismo en $\mathbf{R}$ -puntos). Sin embargo, podemos caracterizarlo en términos de la teoría analítica compleja de la siguiente manera.

Consideremos un grupo Lie conexo $G$ en $\mathbf{R}$ cuya álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ es semisimple. Abandonando por un momento cualquier hipótesis de semisimplicidad en las álgebras de Lie, existe una noción general de complejificación de $G$ es decir, un homomorfismo $r_G:G \rightarrow G_{\mathbf{C}}$ a un grupo Lie complejo $G_{\mathbf{C}}$ que es inicial entre todos los homomorfismos $\rho:G \rightarrow H$ a un grupo de Lie complejo (es decir, existe un único homomorfismo holomorfo $f:G_{\mathbf{C}} \rightarrow H$ tal que $f \circ r_G = \rho$ ). Esto se construye con toda generalidad en el capítulo III de la LIE de Bourbaki, por ejemplo. En general ${\rm{Lie}}(G_{\mathbf{C}})$ es un cociente de $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ Así que cuando $\mathfrak{g}$ es semisimple este cociente es semisimple y por tanto $G_{\mathbf{C}}$ es (canónicamente) lineal sobre $\mathbf{C}$ .

Obviamente, si $G = \mathbf{G}(\mathbf{R})^0$ para un semisimple conexo $\mathbf{R}$ -grupo $\mathbf{G}$ entonces la incrustación cerrada resultante $G \rightarrow \mathbf{G}(\mathbf{C})$ factores unívocos a través de un mapa holomórfico $G_{\mathbf{C}} \rightarrow \mathbf{G}(\mathbf{C})$ mediante composición con $r_G$ Así que $\ker r_G = 1$ .

Notablemente, la inversa se mantiene: si $\ker r_G = 1$ entonces $G$ es el componente de identidad del grupo $\mathbf{G}(\mathbf{R})$ de $\mathbf{R}$ -de un semisimple conectado $\mathbf{R}$ -grupo $\mathbf{G}$ (y $r_G$ es en realidad una incrustación cerrada). De hecho, la "algebraización" canónica de $G_{\mathbf{C}}$ tiene la restricción de Weil $G'$ en $\mathbf{R}$ que es un semisimple conectado $\mathbf{R}$ -tal que $r_G$ se identifica con un mapa inyectivo $G \rightarrow G'(\mathbf{R})$ entre grupos Lie conectados. En particular, $\mathfrak{g}$ se identifica con una subálgebra de Lie semisimple de ${\rm{Lie}}(G')$ así que por la teoría algebraica sobre $\mathbf{R}$ (como sobre cualquier campo de característica 0) tiene la forma ${\rm{Lie}}(\mathbf{G})$ para un único semisimple cerrado conectado $\mathbf{R}$ -subgrupo $\mathbf{G} \subset G'$ . Así, $r_G$ factores a través de $\mathbf{G}(\mathbf{R})^0$ . El mapa inyectivo resultante $G \rightarrow \mathbf{G}(\mathbf{R})^0$ entre conectado Lie es un isomorfismo sobre álgebras de Lie y por tanto es suryectivo, por lo que es un isomorfismo de grupos de Lie.

El resultado es que un grupo Lie conexo $G$ con álgebra de Lie semisimple es lineal si y sólo si $\ker r_G = 1$ en cuyo caso $r_G$ es una incrustación cerrada. Por lo tanto, se puede pensar en la no trivialidad de $\ker r_G$ (es decir, la ausencia de "suficientes" homomorfismos a grupos complejos de Lie para separar puntos) como la obstrucción exacta a $G$ siendo lineal en el sentido definido anteriormente.