Encuentra las 4 raíces de la ecuación: $z^{4}+4=0$

Question

Encuentra las 4 raíces de la ecuación: $z^{4}+4=0$

Nota: No puedo utilizar el formulario: $e^{i\theta}$

Mi intento:

Nota que tenemos: $z=(-4)^{\frac{1}{4}}$ considera $w=-4$ entonces $w^{1/4}=z$ esto implica $w=z^4$ .

Consideremos la forma polar de $z$ et $w$ :
$|w|=r=4$ ,
$Arg(w)=\pi=\theta$

Entonces, $$w=4\cos\pi+i\sin\pi$$ $$z=p\cos\phi+i\sin\phi$$

Esto implica: $w=z^4$ si $4=p^4$ et $4\phi=\pi+2k\pi$ si $p=4^{1/4}$ et $\phi=\frac{\pi+2k\pi}{4}$ con $k=0,1,2,3$

Entonces las raíces son:

$$z_k=4^{1/4}(\cos{\frac{\pi+2k\pi}{4}}+i\sin{\frac{\pi+2k\pi}{4}})$$ con $k=0,1,2,3$

¿es correcto esto?

Answer 1

Consideremos la factorización de $z^4+4$ : $$z^4+4=z^4\color{blue}{+4z^2}+4\color{blue}{-4z^2}=(z^2+2)^2-(2z)^2=(z^2+2z+2)(z^2-2z-2)$$ Entonces obtenemos $z^2+2z+2=0$ o $z^2-2z+2=0$ y luego termínalo usando la fórmula cuadrática.

Answer 2

Es $$(z^2)^2+(2^2)^2=0$$ o $$a^2+b^2=0$$ y esto es $$(a-bi)(a+bi)=0$$ donde $$a=z^2,b=2^2$$

Answer 3

$z^2=\pm 2i$ y entonces las raíces son $\pm1\pm i$ .

Answer 4

La solución parece correcta, aunque la redacción puede mejorarse ligeramente. Seguiré tu argumento y lo reescribiré de la siguiente manera.

La ecuación es equivalente a $z^4=-4$ .

Ahora dejemos que $z=r(\cos \theta+i\sin\theta)$ y escribe $$ -4=4(\cos \pi +i\sin \pi)\tag{1} $$ Por el Fórmula de De Moivre , $$ z^4=r^4(\cos (4\theta)+i\sin (4\theta))\tag{2} $$ Comparando (1) y (2), tenemos $$ r=\sqrt[4]{4},\quad 4\theta=(2k+1)\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. $$

Así pues, las cuatro raíces son $$ z_k=4^{1/4}(\cos{\frac{\pi+2k\pi}{4}}+i\sin{\frac{\pi+2k\pi}{4}})$$ con $k=0,1,2,3$ .

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[La solución puede simplificarse aún más:

• Observe que $4^{1/4}=2^{2/4}=\sqrt{2}$ .

• La expresión $\cos{\frac{\pi+2k\pi}{4}}+i\sin{\frac{\pi+2k\pi}{4}}$ puede hallarse exactamente a mano y, por tanto, puede utilizarse para simplificar la solución. Por ejemplo, $$ z_0=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=1+i. $$ Dejaré los casos $k=1,2,3$ a ti.