los números al cuadrado cuyo único dígitos son 0 y 1

Question

¿Existe alguna cuadrado perfecto entero (aparte de $10^{2k}$) cuyos dígitos son sólo $0$ $1$ en base 10 de expresión?

Esto sólo viene en un placer hablar con mis amigos. Es que la escuela primaria o difícil de probar? Cualquier comentario será de gran ayuda.

algunos de discusión que he encontrado en mathoverflow: http://mathoverflow.net/questions/22/can-n2-have-only-digits-0-and-1-other-than-n-10k

Answer 1

No hay solución, sólo algunas heurísticas:

Supongamos que tenemos $0<n<10^k$ tal que $n^2$ termina en $k$ dígitos $\{0,1\}$. A continuación, para los números $n+10^kd$, $d\in\{0,\ldots,9\}$, tenemos $(n+10^kd)^2=n^2+2\cdot d\cdot 10^k+10^{2k}d^2$, lo que puede o no puede terminar en $k+1$ dígitos $\{0,1\}$. El éxito pasa por exactamente dos opciones de $d$, que depende sólo de la "próxima" dígito de $n^2$. Las dos opciones de $d$ difieren por $5$ y producen el mismo lado 0-1 dígitos en la plaza. De esta manera, se obtiene un árbol binario de más tiempo y más tiempo de finalización posible secuencias, a partir de $1$: $$\begin{align} 1&\\&\to 01,51\\&\to 001,501,251,751\\&\to 0001,5001,0501,5501,4251,9251,3751,8751\\&\to\ldots\end{align}$$ [Otra manera de expresar esto, es tener en cuenta que el $n^2\equiv a\pmod{10^k}$ tiene cuatro soluciones para cualquier 0-1 resto $a$ terminando en $001$]

La pregunta es si en algún momento tenemos la "suerte" y la próxima $k$ dígitos de pasar a ser $0$s y $1$s. Muy de forma heurística, la probaility para un evento de es$5^{-k}$, y en cada "generación" tenemos $2^k$ candidatos. Así, cada generación aporta $(\frac25)^k$ soluciones en promedio, por lo tanto todas las generaciones juntas contribuir $1+\frac25+\frac4{25}+\ldots=\frac53$ soluciones, uno de los cuales es $1^2=1$. Por lo tanto podemos esperar que en la mayoría de una solución podría ser encontrado, y que relativamente pronto ...