Calcular la densidad de la variable aleatoria $X$ (distribución logarítmica normal)

Question

Una variable aleatoria $X$ tiene una distribución normal logarítmica si $\ln X \sim N(\mu, \sigma^2)$ . ¿Cuál es la densidad de la va aleatoria $X$ ?

Sobre, notación: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ significa que la variable aleatoria $X$ se distribuye normalmente en un intervalo que comienza en $\mu$ a $\sigma^2$ .

Resuelvo así pero no estoy seguro:

$$f_X(x) = \frac{d}{dx} P(X \leq x) = \frac{d}{dx}P(\ln X \leq \ln x)$$

Ahora cree la variable $\Psi$ y $\Gamma$ que son la función de distribución de probabilidad acumulativa y también la función de densidad de la distribución normal $N(0,1)$ . Entonces lo anterior es lo mismo que

$$\frac{d}{dx} \Psi\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \Gamma \left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \Gamma\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) \cdot \frac{1}{\sigma x}$$

Por último, la densidad de la variable aleatoria $X$ ¿o lo hago mal?

Answer 1

Lo que has hecho es correcto.

A menudo, la f.d.c. de la distribución normal estándar se denomina $\Phi$ y la densidad se denomina $\varphi.$ Así, se tiene $$ f_X(x) = \varphi\left( \frac {(\ln x) - \mu} \sigma \right) \cdot \frac 1 {\sigma x} \text{ for } x >0. $$

Answer 2

Debe haber una forma más sencilla de conseguirlo. Supongamos que $F_{N}(v)$ sea la FDA de una distribución normal con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$ . Como queremos hallar la FCD (y por consiguiente la FDP) de una variable log-normal, digamos X, escribimos: $$X=e^Y$$ donde $Y\sim N(\mu,\sigma^2)$ por lo tanto: $$Pr(X<x)=Pr(Y<\ln x)=F_{N}(\ln x)$$ diferenciando obtenemos: $$\LARGE f_{X}(x)={d\over{dx}}F_{N}(\ln x)={1\over {x\sigma\sqrt{2\pi}}}{e^{-{{(\ln x-\mu)^2}\over{2\sigma^2}}}}$$