Número de todas las formas posibles de disponer N bolas, M a la vez en M casillas de forma cíclica

Question

Tengo un conjunto de $N$ tipos de bolas de las que quiero elegir $M$ a la vez y ordenar en $M$ cajas.

Las condiciones que tengo son 1. Puedo elegir todos los $M$ bolas del mismo tipo. 2. Las cajas están dispuestas en un ciclo. 3. Una restricción adicional es que las disposiciones en sentido horario y antihorario se consideran equivalentes.

¿De cuántas formas distintas puede hacerse? Cualquier ayuda es muy apreciada.

Doy algunos ejemplos para casos sencillos.

1. $M$ = 5, $N$ = 1

   A A A A A

2. $M$ = 5, $N$ = 2

   A A A A A

   A A A A A

   A A A A B

   A A A B B

   A A B A B

   A A B B

   A B A B B

   B B B B A

   B B B B B

Obsérvese que en el segundo ejemplo las disposiciones A A A B B y B B A A A se consideran equivalentes, por lo que sólo se da A A A B B. También se ignoran otras permutaciones cíclicas.

Por otro lado A A A B B y A A B A B se consideran distintos porque no están relacionados por permutaciones cíclicas.

Answer 1

• Si sólo tiene $M$ sin el ciclo, viene dado por el conjunto de palabras de longitud $M$ en $N$ cartas. Hay $N^M$ tales palabras.

• Ahora, asumamos la equivalencia hasta los ciclos. En la literatura combinatoria, éstos se denominan "collares", y puedes encontrar más información sobre ellos aquí .

• Si también quieres la equivalencia hasta la reflexión, consulta "pulseras" o "collares de facturación" en la misma página de Wikipedia.