Acerca del mapa de cocientes $p : \mathbb{R} \to \mathbb{R} / R$ donde $R$ colapsa todos los intervalos $[n,n+1)$

Question

Recordemos que el parte entera (o parte integrante ) de un número real $x$ es el único número entero $n \in \mathbb Z$ tal que $n \le x \lt n+1$ . Lo denotamos por $I(x)$ .

En $\mathbb R$ definimos la relación $xRy \iff I(x) = I(y)$ .

1. Demostrar que $R$ es una relación de equivalencia.

2. Sea $p:\mathbb R \to \mathbb R /R$ es el mapa cociente, y $\mathbb R /R$ esté dotada de la topología del cociente, y sea $U$ sea un conjunto abierto en $\mathbb R /R$ . Demostrar que si $n \in \mathbb Z$ es tal que $p(n) \in U$ entonces $p(n-1) \in U$ .

3. Deduzca que los conjuntos abiertos en $\mathbb R /R$ son $\emptyset,\mathbb R /R$ y los conjuntos de imágenes $p(-\infty,n]$ donde $n \in \mathbb Z$ .

4. Considere el mapa $I:\mathbb R \to \mathbb Z, x \mapsto I(x)$ . ¿Es el mapa $I$ continua (cuando $\mathbb Z$ está dotado de la topología del subespacio)?

He demostrado que $R$ es una relación de equivalencia y estoy atascado en la parte (2). Realmente no veo cómo eso es cierto. Y al no poder hacer la parte (2) me está resultando difícil hacer la (3), ya que parece que se construyen la una sobre la otra. Cualquier ayuda con (2) sería muy apreciada.

Para (2), puesto que $U$ es un conjunto abierto en $\mathbb R /R$ entonces $p^{-1}(U)$ es un conjunto abierto en $\mathbb R$ debido a la definición de topología cociente. Así, si $p(n) \in U$ entonces $n \in p^{-1}(U)$ ? que está abierto pero no sé cómo mostrar algo sobre $n-1$ ?

Answer 1

Para (2) hay que tener en cuenta los siguientes hechos importantes.

• Como ha señalado, por la definición de un mapa cociente si $U \subseteq \mathbb{R}/R$ está abierto, entonces $p^{-1} [ U ] \subseteq \mathbb{R}$ está abierto. (Lo contrario también es válido).
• Dado que la asignación $p$ es constante en cada segmento $[n,n+1)$ se deduce que para cualquier conjunto $A \subseteq \mathbb{R} / R$ y $x \in \mathbb{R}$ si $p(x) \in A$ entonces $[ I(x) , I(x) + 1 ) \subseteq p^{-1} [ A ]$ .

Juntando todo esto, si $U \subseteq \mathbb{R} / R$ está abierto y $n \in \mathbb{Z}$ es tal que $p(n) \in U$ entonces $p^{-1} [ U ]$ es una vecindad abierta de $n$ . Por lo tanto, existe un $0 < \varepsilon < 1$ tal que $(n-\varepsilon , n + \varepsilon ) \subseteq p^{-1} [ U ]$ . Tomando cualquier $x$ con $n - \varepsilon < x < n$ debe ser que $p(x) \in U$ y así $[ I(x) , I(x) + 1 ) \subseteq p^{-1} [ U]$ . Pero podemos calcular fácilmente $I(x) = n - 1$ .